Считающая мера

Считающая ме́ра (также счётная мера) — формальный эквивалент количества элементов множества.

Определение

Пусть $(X,{ℱ})$ — измеримое пространство, такое что любая точка $x\in X$ является измеримым множеством, то есть $\{x\}\in {ℱ}$. Тогда мера $\mu$, определённая следующим образом: $\mu (A)=|A|$ — количество элементов в $A$, если $A$ — конечное множество, и $\mathrm{\infty }$, если $A$ бесконечно, называется счётной мерой.

Свойства

• Считающая мера конечна, если $|X|<\mathrm{\infty }$, и бесконечна в противном случае.
• Если $X$ — счётное множество, то считающая мера σ-конечна.