Степень точки относительно окружности

Степень внешней точки $P$ относительно окружности равна ${PO}^2-{OT}^2=$${PT}^2=$$PA\cdot PB=$$PM\cdot PN$

Степень точки относительно окружности — величина $d^2-R^2$, где $d$ — расстояние от точки до центра окружности, a $R$ — радиус окружности. По этому определению точки внутри круга имеют отрицательные степени, точки вне круга имеют положительные степени, а точки на окружности имеют нулевую степень. Для точки, лежащей вне окружности, из теоремы Пифагора следует, что степень точки относительно окружности есть квадрат длины касательной, проведённой из данной точки к данной окружности. Степень точки также известна как степень окружности или степень круга относительно точки.

Свойства

Теорема о двух секущих: $AB\cdot AC=AD\cdot AE$

• Если прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружность $\mathrm{\Gamma }$ в точках $B$ и $C$, то степень $A$ относительно $\mathrm{\Gamma }$ равна $\pm AB\cdot AC$; в этой формуле стоит «+» если $A$ лежит снаружи $\mathrm{\Gamma }$ и «-» если внутри. В частности,
  • (Теорема о двух секущих) Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть: $AB\cdot AC=AD\cdot AE$ (рис.).
  • (Теорема о секущей и касательной) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Связанные определения

• Для двух не концентрических окружностей геометрическое место точек Р, для которых степени относительно обеих окружностей равны, является прямой, называемой радикальной осью окружностей.

• Для трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой существует единственная точка, такая, что её степени относительно всех трёх окружностей равны. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей.

• Со степенью точки относительно окружности тесно связано понятие Инверсное расстояние.

История

Термин «степень» в этом значении был впервые употреблён Якобом Штейнером.

Вариации и обобщения

• Аналогично определяется степень точки относительно сферы в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Я. П. Понарин. §3.1 Степень точки относительно сферы // Элементарная геометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — Т. 2. — С. 146. — 256 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-223-5.

См. также

• Касательная прямая к окружности
• Окружность
• Радикальная ось
• Радикальный центр
• Теорема о произведении отрезков хорд