Соленоидальное векторное поле

Определение

Векторное поле называется соленоидальным, или трубчатым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

$\underset{S}{\int }\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{ds}=0$.

Другое определение соленоидального поля: векторное поле $\overrightarrow{a}$ называют соленоидальным, если оно является вихрем некоторого поля $\overrightarrow{b}$, то есть $\overrightarrow{a}=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{b}$. При этом векторное поле $\overrightarrow{b}$ называют векторным потенциалом поля $\overrightarrow{a}$.

Если это условие выполняется для любых замкнутых S в некоторой области (по умолчанию - всюду), то это условие равносильно тому, что равна нулю дивергенция векторного поля $\overrightarrow{a}$:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{a}\equiv \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a}=0$

всюду на этой области (подразумевается, что дивергенция всюду на этой области существует). Поэтому соленоидальные поля называют также бездивергентными.

Для широкого класса областей это условие выполняется тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{a}$ имеет векторный потенциал, то есть существует такое векторное поле $\overrightarrow{A}$ (векторный потенциал), что $\overrightarrow{a}$ может быть выражено как его ротор:

$\overrightarrow{a}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}\equiv \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{A}.$

Иначе говоря, поле является вихревым, если оно не имеет источников. Силовые линии такого поля не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Вихревое поле порождается не покоящимися зарядами (источниками), а изменением другого связанного с ним поля (например, для электрического поля порождается изменением магнитного). Поскольку в природе не существует магнитных зарядов, то магнитное поле всегда является вихревым, и его силовые линии всегда замкнуты. Силовые линии постоянного магнита хотя и выходят из его полюсов (словно имеют источники внутри), на самом деле замыкаются внутри магнита. Поэтому, разрезав магнит надвое, не удастся получить два отдельных магнитных полюса.

Примеры

• Поле вектора магнитной индукции (следует из уравнений Максвелла, а конкретнее — из теоремы Гаусса для магнитного поля).
• Поле скорости несжимаемой жидкости (следует из уравнения неразрывности при $\partial \rho /\partial t=0$).
• Электрическое поле в областях, где отсутствуют источники (заряды). Для соленоидальности поля E необходимо отсутствие (или взаимная компенсация) свободных и связанных зарядов. Для соленоидальности D достаточно отсутствия только свободных зарядов.
• Поле вектора плотности тока соленоидально при отсутствии изменения плотности заряда со временем (тогда соленоидальность плотности тока следует из уравнения непрерывности).

Этимология

Слово соленоидальный происходит от греческого соленоид (σωληνοειδές), означающее «трубообразно» или «как в трубе», содержащего слово σωλην - труба. В данном контексте это означает фиксацию объема для модели текущей жидкости, отсутствие источников и стоков (как при течении в трубе, где новая жидкость не появляется и не пропадает).

См. также

• Потенциальное векторное поле
• Теорема разложения Гельмгольца