След матрицы

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если $a_{i j}$ элементы матрицы $A$ , то её след $t r A = \sum_{i} a_{i i}$ . Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)^[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $t r A$ (от англ. trace — след), и $S p A$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: $t r A = I_{1} (A) = g \cdot \cdot A$ .

Определение[править]

Под следом квадратной матрицы $A$ размера $n \times n$ понимают:

$t r A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} = a_{1, 1} + a_{2, 2} + \dots + a_{n, n},$

где $a_{i, i}$ — элементы главной диагонали:

$t r (\begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i}$ .

Свойства[править]

Линейность $t r (α A + β B) = α t r A + β t r B$ .
$t r (A B) = t r (B A)$ .
Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $t r (C^{- 1} A C) = t r A$ .
$t r A = t r A^{T}$ , где $T$ означает операцию транспонирования.
$\ln \det A = t r \ln A$ .
Если $A \otimes B$ тензорное произведение матриц A и B, то $t r A \otimes B = (t r A) (t r B)$ .
След матрицы равен сумме её собственных значений.
Определитель квадратной матрицы $n \times n$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$ . Например $\det A_{3 \times 3} = \frac{1}{6} ((t r A)^{3} - 3 t r A \cdot t r A^{2} + 2 t r A^{3})$ .

Геометрическое свойство[править]

$d e t (E + G ε) = 1 + t r G ε + o (ε)$ ,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

Следствия:
- $d e t e x p (G α) = 1 + t r G α$ для малых α
- Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также[править]

След (теория полей)

Примечания[править]

↑ Лисовский, Фёдор Викторович. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Ссылки[править]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Trace of a square matrix, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] Лисовский, Фёдор Викторович. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

[1]