Решётка Лича

Решётка Лича — решётка определённого типа в 24-мерном пространстве.

Построения

Конструкция через код Голея

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея ${𝒞}$ типа $[24,12,8]$ как образ при сжатии в $2\sqrt{2}$ раз множества векторов $(a_1,\dots ,a_{24})\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^{24}$ таких, что

$a_1+a_2+\cdots +a_{24}\equiv 4a_1\equiv 4a_2\equiv \cdots \equiv 4a_{24}(\mathrm{mod}8)$

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

$v_i=\{\begin{array}{ll}1,& a_i\equiv j(\mathrm{mod}4),\\ 0,& a_i\equiv ̸j(\mathrm{mod}4),\end{array}$

принадлежит ${𝒞}$.

Конструкция через псевдоевклидово пространство сигнатуры (25,1)

Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка ${\mathrm{I}\mathrm{I}}_{25,1}$, состоящая из векторов $(x_0,\dots ,x_{25})$, у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом $x_0+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb{\mathbb{Z}}$, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор $u=(0,1,\dots ,24,70)$. Отметим, что в силу изотропности $u\in ⟨u{⟩}^{\perp }$, поэтому можно рассмотреть факторпространство $⟨u{⟩}^{\perp }/⟨u⟩$. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности $u$) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ $(⟨u{⟩}^{\perp }\cap {\mathrm{I}\mathrm{I}}_{25,1})/⟨u⟩$ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве.

Свойства

• Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2.

• Решётка Лича реализует максимально возможное контактное число в размерности 24. Её контактное число равно 196560

• Решётка Лича реализует плотнейшую упаковку шаров в размерности 24. Плотность упаковки решётки Лича составляет $\frac{{\pi }^{12}}{12!}\approx 0.001930$.

• Группа автоморфизмов решётки Лича — группа Конвея Co₀. Она включает в себя некоторые спорадические группы, в том числе Co₁ как факторгруппу Co₀ по инверсии пространства, Co₂ и Co₃ как подгруппы. Группа Конвея имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хотя вращательная симметрия решётки Лича очень высока, её группа автоморфизмов не включает никаких отражений; иными словами, решётка Лича хиральна.

См. также

• Решётка E8

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.