Радиан

Радиан
Файл:Рад
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Величина	величина угла
Система	СИ
Тип	основная

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображенные на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС.

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad.

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду.

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные				Дольные
величина	название	обозначение		величина	название	обозначение
101 рад	декарадиан	дарад	darad	10−1 рад	децирадиан	драд	drad
102 рад	гекторадиан	град	hrad	10−2 рад	сантирадиан	срад	crad
103 рад	килорадиан	крад	krad	10−3 рад	миллирадиан	мрад	mrad
106 рад	мегарадиан	Мрад	Mrad	10−6 рад	микрорадиан	мкрад	µrad
109 рад	гигарадиан	Град	Grad	10−9 рад	нанорадиан	нрад	nrad
1012 рад	терарадиан	Трад	Trad	10−12 рад	пикорадиан	прад	prad
1015 рад	петарадиан	Прад	Prad	10−15 рад	фемторадиан	фрад	frad
1018 рад	эксарадиан	Эрад	Erad	10−18 рад	атторадиан	арад	arad
1021 рад	зеттарадиан	Зрад	Zrad	10−21 рад	зепторадиан	зрад	zrad
1024 рад	иоттарадиан	Ирад	Yrad	10−24 рад	иокторадиан	ирад	yrad
1027 рад	роннарадиан	Ррад	Rrad	10−27 рад	ронторадиан	ррад	rrad
1030 рад	кветтарадиан	Кврад	Qrad	10−30 рад	квекторадиан	кврад	qrad
рекомендовано к применению      применять не рекомендуется      не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

• 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен $180^{\circ },$ или $\frac{\pi \cdot r}{r}=\pi$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или $p^{\circ }$) = $\frac{360^{\circ }}{2\pi }\approx 57,295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17^{\prime }44,806^{″}$(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

$p^{\prime }$ (или 1 рад в минутах) = $\frac{360^{\circ }\cdot 60^{\prime }}{2\pi }\approx 3437,747^{\prime }$

$p^{″}$ (или 1 рад в секундах) = $\frac{360^{\circ }\cdot 60^{\prime }\cdot 60^{″}}{2\pi }\approx 206264,8^{″}.$

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
$p^{‵‵}$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = $\frac{400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }=636620.$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ($\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$) делаем именованное ($p^{\circ },p^{\prime },p^{″}$) и поэтому должны множить на $p^{\circ }($или $p^{\prime },p^{″})$;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на $p^{\circ }($или $p^{\prime },p^{″}),$ либо же умножать на перевёрнутую дробь $\frac{1}{p^{\circ }}(\frac{1}{p^{\prime }},\frac{1}{p^{″}}).$

Пример 1. Перевести в радианы $5^{\circ }43^{\prime }46^{″}.$

$\mathit{\alpha }[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}]\eqcirc 5^{\circ }=\frac{5^{\circ }}{p^{\circ }}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=0,0872_6$

$43^{\prime }=\frac{43^{\prime }}{p^{\prime }}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=0,0125_{08}$

$46^{″}=\frac{46^{″}}{p^{″}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=0,0002_{23}$

$\sum \approx 0,0999_9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ $=0,1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на $p^{\circ }:$ (как правило, этот способ более точен)

$46^{″}=\frac{46^{″}}{60^{″}}=0,{\mathit{7}\mathit{7}}^{\prime }$

$43,{\mathit{7}\mathit{7}}^{\prime }=\frac{43,77^{\prime }}{60^{\prime }}=0,{\mathit{7}\mathit{2}\mathit{9}\mathit{5}}^{\circ }$

$\sum =5,{\mathit{7}\mathit{2}\mathit{9}\mathit{5}}^{\circ }$

$5,7295^{\circ }=\frac{5,7295^{\circ }}{p^{\circ }}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\frac{5,7295^{\circ }}{57,295^{\circ }}=0,1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

$a{[}^{\circ }]\eqcirc 1\cdot \frac{360^{\circ }}{2\pi }=1\cdot 57,29578^{\circ }=57,{\mathit{2}\mathit{9}\mathit{5}\mathit{7}\mathit{8}}^{\circ }$

$0,{\mathit{2}\mathit{9}\mathit{5}\mathit{7}\mathit{8}}^{\circ }\cdot 60^{\prime }=17,{\mathit{7}\mathit{4}\mathit{6}\mathit{8}}^{\prime }$

$0,{\mathit{7}\mathit{4}\mathit{6}\mathit{8}}^{\prime }\cdot 60^{″}=44,807^{″}\approx 45^{″}$

Итого $\approx 57^{\circ }17^{\prime }45^{″}.$

Таблица градусов, радиан и град

Таблица углов

Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{\mathrm{g}}$	$0$	1	$0$
$\frac{1}{24}$	$15^{\circ }$	$\frac{\pi }{12}$	$33{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$2-\sqrt{3}$
$\frac{1}{12}$	$30^{\circ }$	$\frac{\pi }{6}$	$16{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{8}$	$45^{\circ }$	$\frac{\pi }{4}$	$50^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{1}{6}$	$60^{\circ }$	$\frac{\pi }{3}$	$66{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{5}{24}$	$75^{\circ }$	$\frac{5\pi }{12}$	$88{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$2+\sqrt{3}$
$\frac{1}{4}$	$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$	$100^{\mathrm{g}}$	$1$	$0$	не определяется
$\frac{7}{24}$	$105^{\circ }$	$\frac{7\pi }{12}$	$116{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$-2-\sqrt{3}$
$\frac{1}{3}$	$120^{\circ }$	$\frac{2\pi }{3}$	$133{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$\frac{3}{8}$	$135^{\circ }$	$\frac{3\pi }{4}$	$150^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$\frac{5}{12}$	$150^{\circ }$	$\frac{5\pi }{6}$	$166{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{11}{24}$	$165^{\circ }$	$\frac{11\pi }{12}$	$183{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$-2+\sqrt{3}$
$\frac{1}{2}$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^{\mathrm{g}}$	$0$	-1	$0$
$\frac{7}{12}$	$210^{\circ }$	$\frac{7\pi }{6}$	$233{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{5}{8}$	$225^{\circ }$	$\frac{5\pi }{4}$	$250^{\mathrm{g}}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{2}{3}$	$240^{\circ }$	$\frac{4\pi }{3}$	$266{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{3}{4}$	$270^{\circ }$	$\frac{3\pi }{2}$	$300^{\mathrm{g}}$	$-1$	$0$	не определяется
$\frac{5}{6}$	$300^{\circ }$	$\frac{5\pi }{3}$	$333{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$\frac{7}{8}$	$315^{\circ }$	$\frac{7\pi }{4}$	$350^{\mathrm{g}}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$\frac{11}{12}$	$330^{\circ }$	$\frac{11\pi }{6}$	$366{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$1$	$360^{\circ }$	$2\pi$	$400^{\mathrm{g}}$	$0$	1	$0$

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее $0,1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(5^{\circ }43^{\prime },77)$, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше $0,01\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(0^{\circ }34^{\prime },38)$, — то до шестого знака после запятой:

$\sin \alpha \approx \mathrm{tg}\alpha \approx \alpha .$

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы.

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».

См. также

• Град, минута, секунда
• Градус, минута, секунда
• Оборот (единица измерения)
• Парсек
• Стерадиан
• Тысячная (угол)

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A.  (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.