Признак Жамэ

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ.

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится, если при $n>N$ выполняется неравенство: $J_n=\frac{n}{\ln n}\cdot (1-\sqrt[n]{a_n})⩾1+\delta ,$ где $\delta >0$. Если же $J_n⩽1$, при $n>N$, то ряд расходится.

Доказательство

1. Пусть для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ выполняется условие:

$\frac{n}{\ln n}\cdot (1-\sqrt[n]{a_n})⩾\delta >1$.

Преобразуем это неравенство к виду:

$0⩽a_n⩽{(1-\frac{\delta \ln n}{n})}^n$.

Поскольку всегда можно найти достаточно большое $n>N$ такое, что:

$1-\frac{\delta \ln n}{n}>0$,

то можно перейти к выражению:

$0⩽a_n⩽\exp (n\ln (1-\frac{\delta \ln n}{n}))$.

Применив разложение функции $\ln (1-x)$ в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$0⩽a_n⩽\exp (-\delta \ln n-{\delta }^2\frac{{\ln }^{2}n}{2n}+o\left(\frac{{\ln }^{2}n}{n}\right))$

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

$0⩽a_n⩽\frac{1}{n^{\delta }}\exp (-{\delta }^2\frac{{\ln }^{2}n}{2n}+o\left(\frac{{\ln }^{2}n}{n}\right))$

Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции $e^x$:

$0⩽a_n⩽\frac{1}{n^{\delta }}-{\delta }^2\frac{{\ln }^{2}n}{2n^{\delta +1}}+o\left(\frac{{\ln }^{2}n}{n^{\delta +1}}\right)$

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что ${\delta }^2\frac{{\ln }^{2}n}{2n^{\delta +1}}⩾0$, получаем:

$0⩽a_n⩽\frac{1}{n^{\delta }}-{\delta }^2\frac{{\ln }^{2}n}{2n^{\delta +1}}⩽\frac{1}{n^{\delta }}$

Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится и расходится одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\delta }}$ (ряд Дирихле), который сходится при $\delta >1$ и расходится при $\delta ⩽1$.

2. Пусть для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ выполняется условие:

$\frac{n}{\ln n}\cdot (1-\sqrt[n]{a_n})⩽1$

Преобразуем это неравенство к виду:

$a_n⩾{(1-\frac{\ln n}{n})}^n=\exp (n\ln (1-\frac{\ln n}{n}))$.

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$a_n⩾\frac{1}{n}-\frac{{\ln }^{2}n}{2n^2}+o\left(\frac{{\ln }^{2}n}{n^2}\right)=o\left(\frac{1}{n}\right)$

То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ расходится, поскольку расходится ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ (гармонический ряд). ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: $J=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}_n$ то при $J>1$ ряд сходится, а при $J<1$ — расходится.

Обобщение

Пусть на $\mathbb{\mathbb{N}}$ заданы три положительно определённые функции: $\phi (n),g(n),f(n)$, причём $\phi (n)$ и $f(n)$ являются неограниченно возрастающими, и для них выполняются условия: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\phi (n)g(n)}{f(n)\ln n}=q$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g(n)}{f(n)}=0$. Тогда, если для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, при $n>N$ выполняется неравенство: $(1-a_n^{\frac{1}{\phi (n)}})\frac{f(n)}{g(n)}⩾p>\frac{1}{q}$, то ряд сходится. Если же для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, при $n>N$ выполняется неравенство: $(1-a_n^{\frac{1}{\phi (n)}})\frac{f(n)}{g(n)}⩽p<\frac{1}{q}$, то ряд расходится.

Литература

• Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 254.