Признак Ермакова

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).

Формулировка

Пусть для функции $f(x)$ выполняется: $f(x)>0\mathrm{\forall }x$ (функция принимает только положительные значения); функция $f(x)$ монотонно убывает при $x⩾1$. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ сходится, если при $x⩾x_0$ выполняется неравенство: $\epsilon (x)=\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}⩽\lambda$, где $\lambda <1$. Если же $\epsilon (x)⩾1$ при $x⩾x_0$, то ряд расходится.

Доказательство

1. Пусть выполняется неравенство:

$\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}⩽\lambda .$

Домножим обе части этого неравенства на $f(x)$ и проинтегрируем, используя подстановку $t=e^u$:

$\underset{e^{x_0}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(e^u)\cdot e^{u}du⩽\lambda \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt,$

отсюда

$(1-\lambda )\underset{e^{x_0}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩽\lambda (\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-\underset{e^{x_0}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt)⩽\lambda (\underset{x_0}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt-\underset{x}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt)⩽\lambda \underset{x_0}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt,$

так как $e^x>x$, вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на $1-\lambda$, получим:

$\underset{e^{x_0}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩽\frac{\lambda }{(1-\lambda )}\underset{x_0}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt.$

Прибавив к обеим частям интеграл $\underset{x_0}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt$, получим

$\underset{x_0}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩽\frac{1}{(1-\lambda )}\underset{x_0}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt=L.$

Учитывая, что $e^x>x$, при $x⩾x_0$

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt⩽L.$

Поскольку с возрастанием $x$ и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при $x\to \mathrm{\infty }$:

$\underset{x_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt⩽L.$

Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ также сходится.

2. Пусть теперь имеет место неравенство:

$\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}⩾1.$

Домножив обе части этого неравенства на $f(x)$ и проинтегрировав, используя в левой части подстановку $t=e^u$, получим:

$\underset{e^{x_0}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩾\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

Прибавим к обеим частям интеграл $\underset{x}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt$:

$\underset{x}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩾\underset{x_0}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt=\gamma .$

Поскольку $x_0<e^{x_0}$, то $\gamma >0$. Определим теперь последовательность $\{x_i\}$ следующим образом:

$x_i=e^{x_{i-1}},i=0,1,\dots ,n,\dots$

Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:

$\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f(t)dt⩾\gamma .$

Суммируем этот интеграл по $i=0,1,\dots ,n$:

$\underset{x_0}{\overset{x_n}{\int }}f(t)dt=\sum _{i=1}^n\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f(t)dt⩾n\gamma ,$

то есть этот интеграл неограничен при $n\to \mathrm{\infty }$. Поэтому:

$\underset{x_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=+\mathrm{\infty }.$

Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ также расходится. ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: $\epsilon =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\epsilon (x),$ то при $\epsilon <1$ ряд сходится, а при $\epsilon >1$ — расходится.

Обобщение

Пусть для функции $f(x)$ выполняется: $f(x)>0\mathrm{\forall }x$ (функция принимает только положительные значения); функция $f(x)$ монотонно убывает при $x⩾1$. Возьмём некоторую функцию $\phi (x)>x$, которая: $\phi (x)>0\mathrm{\forall }x$ (функция принимает только положительные значения); монотонно возрастает; имеет непрерывную переменную. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ сходится, если выполняется неравенство: $\frac{\phi (x)\cdot f(\phi (x))}{f(x)}⩽\lambda <1$. Если же $\frac{\phi (x)\cdot f(\phi (x))}{f(x)}⩾1$, то ряд расходится.

Литература

• Ермакова признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Ermakoff's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.