Преобразование Мёбиуса

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

Не следует путать с обращением Мёбиуса.

Эта статья о конформных преобразованиях одноточечной компактификации евклидова пространства; о функциях косплексного переменного см. Дробно-линейное преобразование.

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства $\widehat{{\mathbb{ℝ}}^n}={\mathbb{ℝ}}^n\cup \{\mathrm{\infty }\}$, представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей. .

В англоязычной литературе термин преобразование Мёбиуса часто определяют только для расширенной комплексной плоскости $\widehat{\mathbb{ℂ}}=\mathbb{ℂ}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ как преобразование $f:\widehat{\mathbb{ℂ}}\to \widehat{\mathbb{ℂ}}$, задающееся при помощи дробно-линейной функции:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{ax+b}{cx+d},& x\ne \mathrm{\infty }\\ \frac{a}{c},& x=\mathrm{\infty }\end{array}a,b,c,d\in \mathbb{ℂ},\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\ne 0$

Это определение может рассматриваться как частный случай общего для $n=2$, поскольку если расширенную комплекную плоскость $\widehat{\mathbb{ℂ}}=\mathbb{ℂ}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ представить себе как $\widehat{{\mathbb{ℝ}}^2}={\mathbb{ℝ}}^2\cup \{\mathrm{\infty }\}$, то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.

Для случая $n=1$ одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

Проективно расширенная числовая прямая

В случае $n=1$ пространство $\mathbb{ℝ}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{ax+b}{cx+d},& x\ne \mathrm{\infty }\\ \frac{a}{c},& x=\mathrm{\infty }\end{array}a,b,c,d\in \mathbb{ℝ},\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\ne 0$

Расширенная комплексная плоскость

Основная статья: Дробно-линейное преобразование

В случае $n=2$ пространство ${\mathbb{ℝ}}^2\cup \{\mathrm{\infty }\}$ можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении преобразование Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{ax+b}{cx+d},& x\ne \mathrm{\infty }\\ \frac{a}{c},& x=\mathrm{\infty }\end{array}a,b,c,d\in \mathbb{ℂ},\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\ne 0$

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности. Его можно рассматривать либо точечное преобразование, либо как преобразование обобщённых окружностей:

• как точечное преобразование преобразование Мёбиуса — преобразование расширенной евклидовой плоскости такое, что окружность или прямая переходят в окружность или прямую. Имеем точечную аналлагматическую геометрию;
• как неточечное преобразование преобразование Мёбиуса — частный случай контактного преобразования, в котором основной элемент — не точка, а окружность. Имеем круговую аналлагматическую геометрию.

Легко проверяются следующие простые свойства:

1. Тождественное отображение $f(z)=z$ также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить $a=d=1,b=c=0.$
2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров $a$, $b$, $c$, $d$ на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы $G{L}_2(\mathbb{ℂ})$, то есть имеет место эпиморфизм: $\left(\begin{array}{ccc}a& & b\\ c& & d\end{array}\right)\to \frac{az+b}{cz+d}$.

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца $S{O}^{\uparrow }(1,3)$.

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию $ad-bc=1$. Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного $a+d$, можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: $|a+d|<2$;
• параболические: $a+d=\pm 2$;
• гиперболические: $|a+d|>2$.

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ разложимо в суперпозицию четырёх функций:

$f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),$

где

$\begin{array}{ccc}{f}_1(z)& =& z+\frac{d}{c},\\ f_2(z)& =& \frac{1}{z},\\ f_3(z)& =& -\frac{ad-bc}{c^2}z,\\ f_4(z)& =& z+\frac{a}{c}.\end{array}$

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек $z_1,z_2,z_3$ существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки $w_1,w_2,w_3$. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка $w(z)$ является образом точки $z$, то выполняется равенство

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w(z))(w_2-w_3)},$

которое (при условии, что $z_i\ne z_j,w_i\ne w_j$ при $i\ne j$) однозначно определяет искомое отображение $w(z).$

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

является автоморфизмом единичного круга $\mathrm{\Delta }=\{z\in \mathbb{ℂ}:|z|<1\}$ тогда и только тогда, когда $a\overline{b}=c\overline{d}$ и $|a|=|d|>|c|$.

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

$f(z)=e^{i\phi }\frac{z+\beta }{\overline{\beta }z+1},\beta \in \mathrm{\Delta },|e^{i\phi }|=1.$

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

$W(z)=\frac{z-i}{z+i}.$

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость ${\mathbb{ℂ}}^{+}$ в единичный круг $\mathrm{\Delta }$.

Пространства старших размерностей

Начиная с $n=3$ любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

• $f(x)=b+A(x-a)$
• $f(x)=b+\frac{A(x-a)}{|x-a{|}^2}$,

где $a,b\in \mathbb{ℝ}$, $A$ — ортогональная матрица.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.]
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил.

Ссылки

• Moebius Transformations Revealed Архивная копия от 16 февраля 2011 на Wayback Machine на YouTube.
  • то же (с русскими субтитрами) Архивная копия от 22 июня 2015 на Wayback Machine.