Последовательность

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Более общие случаи см. в разделе Вариации и обобщения.

В данной статье последовательность подразумевается бесконечной; случаи конечной последовательности оговариваются особо.

Примеры

Примеры числовой последовательности:

• Примером конечной последовательности может служить последовательность домов на улице.
• Многочлен от одной переменной $a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$ можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении $a_i=0$ при $i>n$.
• Последовательность простых чисел является одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей.
• Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа $\frac{13}{9}$ конечна и равна $[1;2,4]$, а цепная дробь числа $\pi$ уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]$.
• В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.
• Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на $n$-ой позиции находится множество всех многочленов степени $n$ с целыми коэффициентами от одной переменной.

Числовая последовательность

Основная статья: Числовая последовательность

Строгое определение

Пусть задано некоторое множество $X$ элементов произвольной природы.

Всякое отображение $f:\mathbb{\mathbb{N}}\to X$ множества натуральных чисел $\mathbb{\mathbb{N}}$ в заданное множество $X$ называется последовательностью (элементов множества $X$).

Обозначения

Последовательности вида

$x_1,x_2,x_3,\dots$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

$(x_n)$ или $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Иногда используются фигурные скобки:

$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

$(x_n{)}_{n=1}^N$.

Также последовательность может быть записана как

$(f(n))$,

если функция $f$ была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при $f(n)=n^3$ последовательность можно записать в виде $(n^3)$.

Связанные определения

• Образ натурального числа $n$, а именно элемент $x_n=f(n)$, называется $n$-ым членом последовательности, а порядковый номер $n$ члена последовательности $x_n$ — его индексом.
• Подмножество $f\left[\mathbb{\mathbb{N}}\right]$ множества $X$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.

Подпоследовательность

• Подпоследовательностью последовательности $(x_n)$ называется зависящая от $k$ последовательность $(x_{n_k})$, где $(n_k)$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены и сохранив порядок оставшихся элементов последовательности. Подпоследовательность последовательности $x_1,x_2,x_3,\dots$ это выделенная из данной последовательности, любая бесконечная последовательность $x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},\dots$, где $n_1<n_1<n_1<\dots$.

Например последовательность $\{x_n\}=\{(-1{)}^n\}$ сама не является сходящейся, но она включает две подпоследовательности: во-первых, подпоследовательность $\{1,1,\cdots \}$, которая сходится к $1$, во-вторых, подпоследовательность $\{-1,-1,\cdots \}$, которая сходится к $-1$.

Замечания

• Любое отображение множества $\mathbb{\mathbb{N}}$ в себя также является последовательностью.
• Последовательность элементов множества $X$ может быть рассмотрена, как упорядоченное подмножество $X$, изоморфное множеству натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностей

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательности чисел Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Основной источник:

1. Аналитический, где формула определяет последовательность n-го члена, например: $a_n=\frac{n}{n+1}$
2. Рекуррентный, Например, числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: $a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$
3. Словесный; Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность её десятичных приближений по недостатку или избытку, округляя в каждой итерации дробь в меньшую или большую сторону.

Последовательность действий

Блок-схема последовательности шагов (алгоритм Евклида) для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел a и b в точках с именами A и B. Алгоритм выполняется последовательным вычитанием в двух циклах: ЕСЛИ тест B ≥ A дает «да» или "истина" (точнее, число b в позиции B больше или равно числу a в позиции A) ТОГДА алгоритм определяет B ← B - A (что означает, что число b - a заменяет старое число b). Точно так же ЕСЛИ A> B, ТОГДА A ← A - B. Процесс завершается, когда (содержимое) B равно 0, что дает НОД в A. (Алгоритм, полученный из Scott 2009: 13; символы и стиль рисования из Tausworthe 1977).

Основная статья: алгоритм

«Алгоритм — это строгая и логичная последовательность действий для решения какой-либо задачи (математической, информационной и т. п.).»

Последовательности в математике

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

• числовые последовательности;
• последовательности элементов метрического пространства;
• временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов функционального пространства;
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:

• Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
• Поиск закономерностей среди членов последовательности.
• Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для $n$-го члена последовательности. Например, для $n$-го простого числа неплохое приближение даёт формула: $n\ln (n)$ (существуют и более точные).
• Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу $($числовому или не числовому, в зависимости от типа множества $X).$

Вариации и обобщения

• Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.
• Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения $\mathbb{\mathbb{N}}\times \mathbb{\mathbb{N}}\times \dots \times \mathbb{\mathbb{N}}$. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ-Морса. Также многочлен от нескольких переменных $x_1,x_2,\dots x_{n-1},x_n$ можно рассматривать как конечную $n$-мерную последовательность, где на позиции $i_1,i_2,\dots i_{n-1},i_n$ находится коэффициент при произведении $x_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}{x}_n^{i_n}$.

См. также

• Иерархия
• Направленность (математика)

Литература

• Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.