Оператор Дирака

Оператор Дирака — общее название дифференциальных операторов, которые являются квадратными корнями некоторого оператора второго порядка, чаще всего оператора Лапласа и его аналогов.

То есть оператор $D$ является оператором Дирака для данного оператора второго порядка $\mathrm{\Delta }$, если

$D^2=\mathrm{\Delta }.$

В физике высоких энергий это требование часто ослабляется: предполагается только, что главная часть $D^2$ совпадает с $\mathrm{\Delta }$.

Примеры

• $D=-i\cdot {\partial }_x$ является оператором Дирака на касательном расслоении над прямой.
• Для дифференциальных форм на римановом многообразии оператор Дирака можно определить как

$D=\sum _i{e}_i\bullet {\mathrm{\nabla }}_{e_i},$

где $e_i$ — ортонормированный репер в точке, $\mathrm{\nabla }$ — связность, а $\bullet$ — умножение Клиффорда. Его квадрат

$D^2=\sum _{i,j}{e}_i\bullet e_j\bullet \underset{e_i,e_j}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}$

называется лапласианом Дирака; для функций он совпадает с оператором Лапласа — Бельтрами, но он также определён на формах всех степеней.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.