Объём Малера

Объём Малера — характеристика Центрально-симметричного выпуклого тела. Названа в честь Курта Малера.

Нерешённая гипотеза Малера утверждает, что минимальный возможный объём Малера имеет куб.

Определение

Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.

Если $B$ есть центрально-симметричное выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве, то двойственное тело $B^{*}$ другое центрально-симметричного тело в том же пространстве, определяемая как

$B^{*}=\{x\mid x\cdot y\le 1\text{ for all }y\in B\}.$

Объём Малера $B$ является произведением объёмов $B$ и $B^{*}$.

Примеры

• Единичный шар является самодвойственным. Поэтому объём Малера единичного шара есть квадрат его объёма.

  $\frac{\mathrm{\Gamma }(3/2{)}^{2n}{4}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1{)}^2}.$

где Γ обозначает гамма-функцию.

• Такой же объём Малера имеет любой эллипсоид

• Двойственное тело для куба есть октаэдр. Отсюда несложно вычислить что объём Малера куба (также как и октаэдра) есть $\frac{4^n}{n!}$.
  • Согласно формуле Стирлинга, объём Малера шара превышает объем Малера куба примерно в ${\left(\frac{\pi }{2}\right)}^n$ раз.

Свойства

• Объём Малера являющееся безразмерной величиной инвариантой относительно линейных преобразований.
• По неравенству Бляшке — Сантало, шар имеет максимальный объёмом Малера.

Ссылки

• Bourgain, J. & Milman, V. D. (1987), New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rⁿ, Inventiones Mathematicae Т. 88 (2): 319–340, DOI 10.1007/BF01388911 .

• Santaló, L. A. (1949), An affine invariant for convex bodies of n-dimensional space, Portugaliae Math. Т. 8: 155–161 .

• Tao, Terence (March 8, 2007), Open question: the Mahler conjecture on convex bodies, <http://terrytao.wordpress.com/2007/03/08/open-problem-the-mahler-conjecture-on-convex-bodies/>  Архивная копия от 16 февраля 2019 на Wayback Machine. Revised and reprinted in Tao, Terence (2009), 3.8 Mahler's conjecture for convex bodies, Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog, American Mathematical Society, с. 216–219, ISBN 978-0-8218-4695-7 .