Непрерывная функция

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая функция, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. Если значения функции $f(x)$ известны для аргументов $x$, расположенных достаточно плотно, то у непрерывной функции для промежуточных значений аргумента $x_0$ значения функции $f(x_0)$ приблизительно равны известным значениям функции $f(x)$ окрестных аргументов $x$. При этом, в непрерывной функции значение $f(x_0)$ мы можем аппроксимировать сколь угодно точно, в зависимости от плотности расположения аргументов функции $x$, для которых $f(x)$ известна. То есть, непрерывность функции $f(x)$ для значения $x_0$ означает, что $f(x)$ сколь угодно мало отличается от значения $f(x_0)$, если $x$ достаточно близко к $x_0$. Величина степени точности, достаточности того, насколько мало $f(x)$ отличается от значения $f(x_0)$ для утверждения непрерывности функции обозначается величиной $\epsilon$. Чтобы считать функцию $f$ непрерывной в $x_0$, разница между $f(x)$ и $f(x_0)$ должна быть в пределах $\epsilon$: $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$ для всех значений $x$ находящихся в окрестности $x_0$ (то есть в пределах некоторой дистанции $\delta$).

Геометрическим представлением непрерывной функции является непрерывающаяся линия графика функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ. Понятие непрерывной функции и непрерывности являются важнейшими в математическом анализе.

Определение

Пусть $D\subset \mathbb{ℝ}$ и $f:D\to \mathbb{ℝ}$. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке $x_0\in D$.

• Определение через предел: функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, предельной для множества $D$, если $f$ имеет предел в точке $x_0$, и этот предел совпадает со значением функции $f(x_0)$:

  $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

Применение ε-δ-формализма: Чтобы определить является ли функция непрерывной в точке x_0 = 2, мы должны убедиться что какой бы ε мы не взяли (достаточно малой величины, чтобы мы были уверенными в непрерывности функции), для всех значений функции в диапазоне Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle f(x_0)-ε<f(x)<f(x_0)+ε} , можно найти δ, такое что соответствующие значения аргумента будут в дапазоне Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x_0-δ<x<x_0+δ.} То есть для горизонтальной синей полосы можно найти вертикальную розовую полосу. В данном случае для выбранного значения ε = 0,5 оно равно δ ≤ 0,5.

• Определение, использующее ε-δ-формализм: функция $f$ непрерывна в точке $x_0\in D$, если для любого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для любого $x\in D$,

  $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента $x$ удовлетворять условию $0<|x-a|$, то есть быть отличными от а.

Подтверждением непрерывности функции $f$ в $x_0$ является наличие любого модуля непрерывности $\delta$ для каждого положительного $\epsilon .$

• Определение, использующее o-символику: функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, если

  $f(x_0+\delta )=f(x_0)+o(1)$, при $\delta \to 0$.

• Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Основная статья: Равномерная непрерывность

Непрерывность функции $f$ для определенного $x_0$ является локальным свойством функции, зависящим от значений $f$ в достаточно малой окрестности $x_0$. Функция $f$ может быть непрерывной для $x_0$ и разрывной для других $x$. Функция $f$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция $f$ класса $C^0$ и пишут: $f\in C^0(E)$ или, подробнее, $f\in C^0(E,\mathbb{ℝ})$. Тогда для каждого $x_0$ множества существует модуль непрерывности $\delta =\delta (\epsilon )$, который может отличаться для определенных $x_0$, поскольку $y$ может иметь разную степень изменения при изменении $x$ в окрестностях $x_0$. Функция $f$ является равномерно непрерывной на множестве если можно найти равномерный модуль непрерывности $\delta =\delta (\epsilon )$ для этого множества, то есть такой модуль непрерывности, который не зависит от определенного $x_0$ области. При этом рассматриваемая область может быть как замкнутым, так и открытым множеством.

Функция $f$ называется равномерно непрерывной на $E$, если для всех $\epsilon >0$ на множестве $E$, существует $\delta >0$ такое, что для любых двух точек $x$ и $x_0$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

Каждая равномерно непрерывная на множестве $E$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция $f$ называется полунепрерывной снизу в точке $a$, если для любого $\epsilon >0$ существует такая окрестность $U_E(a)$, что $f(x)>f(a)-\epsilon$ для всякого $x\in U_E(a)$;
• функция $f$ называется полунепрерывной сверху в точке $a$, если для любого $\epsilon >0$ существует такая окрестность $U_E(a)$, что $f(x)<f(a)+\epsilon$ для всякого $x\in U_E(a)$.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и уменьшить значение $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке $a$;
• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и увеличить значение $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке $a$.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если $f(a)=-\mathrm{\infty }$, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке $a$;
• если $f(a)=+\mathrm{\infty }$, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке $a$.

Односторонняя непрерывность

Функция $f$ называется непрерывной слева (справа) в точке $x_0$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: $f(x_0)=\lim {}_{x\to x_0-}f(x)$ $(f(x_0)=\lim {}_{x\to x_0+}f(x)).$

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция $f$ такова, что она непрерывна всюду на $E$, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Точки разрыва

Запрос «Точка разрыва» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если $A$ — значение функции $f$ в точке $a$, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с $A$. На языке окрестностей условие разрывности функции $f$ в точке $a$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки $A$ области значений функции $f$, что как бы мы близко не подходили к точке $a$ области определения функции $f$, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки $A$.

Классификация точек разрыва в R¹

Классификация разрывов функций $f:X\to Y$ зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$. Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в $\mathbb{ℝ}$ различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы (англ. removable singularity) и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

• 
  Устранимый разрыв
• 
  Разрыв типа «скачок»
• 
  Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».
• 
  Точка существенного разрыва

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» в точке $\xi$ возникает, если

$\lim {}_{x\to \xi -0}f(x)\ne \lim {}_{x\to \xi +0}f(x)$.

Примером функции с точкой разрыва "скачок" является функция $y=sgn(x).$ Для этой функции точкой разрыва будет $\xi =0$. В данном примере при разрыве "скачок" $f(x)$ стремится к предельным значениям слева и справа по мере того как $x$ стремится к $\xi$ и при этом значения слева и справа отличаются друг от друга и от значения $f$ в точке $\xi$. В этом примере пределы слева и справа в точке разрыва имеют разные значения. У функций, у которых пределы слева и справа равны друг другу, но отличаются от значения функции $f$ в точке разрыва $\xi =0$ точка разрыва является устранимой.

Устранимая точка разрыва

Если доопределить функцию $y=x\sin \frac{1}{x}$ в точке $x=0$, приняв ее равной $y=0$, то тем самым мы устраним разрыв этой функции.

Если пределы функции слева и справа от точки разрыва существуют и конечны, пределы слева и справа равны друг другу, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

$\lim {}_{x\to a}f(x)\ne f(a)$,

то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва функции $f$ (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию $f$ в точке устранимого разрыва и положить $f(a)=\lim {}_{x\to a}f(x)$, то есть принять значение функции в точке разрыва равным пределу функции, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Например, функция $y=x\sin \frac{1}{x}$ при приближении ее слева и справа к точке $x=0$, то есть в окрестности точки $x=0$, совершает колебания бесконечное количество раз, что говорит о разрыве, с уменьшением аплитуды колебания до сколь угодно малого значения. Таким образом для этой точки разрыва пределы функции слева и справа равны друг другу и известны. Если доопределить функцию $y=x\sin \frac{1}{x}$ в точке $x=0$, приняв ее равной $y=0$ то тем самым мы устарним разрыв этой функции.

Функция $y=\sin \frac{1}{x}$ в точке $x=0$ имеет неустранимый разрыв.

Сравните функцию $y=x\sin \frac{1}{x}$, имеющей устранимую точку разрыва, с функцией $y=\sin \frac{1}{x}$ у которой точка разрыва в $x=0$ является неустранимой, так как предел функции неизвестен (См. рисунок)

Бесконечный разрыв. Точка разрыва «полюс»

Бесконечный разрыв в точке $x=0$ графика функции $y=\frac{1}{x^2}$

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

$\lim {}_{x\to a-0}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ или $\lim {}_{x\to a+0}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$.

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rⁿ, n>1

Для функций $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$ и $f:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если $\mathrm{\exists }\lim {}_{x\to a}f(x)$, то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как $\lim {}_{x\to a}f(x)=\mathrm{\infty }$. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что $f(x)\to \mathrm{\infty }$, каким путём бы он ни рос.
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в $\mathbb{ℝ}$ считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке $a$, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и $f(a)>0$ (или $f(a)<0$), то $f(x)>0$ (или $f(x)<0$) для всех $x$, достаточно близких к $a$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$ и $f\cdot g$ тоже непрерывны в точке $a$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$ и при этом $g(a)\ne 0$, то функция $f/g$ тоже непрерывна в точке $a$.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и функция $g$ непрерывна в точке $b=f(a)$, то их композиция $h=g\circ f$ непрерывна в точке $a$.

Глобальные

• Функция $f$ непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке отрезка.
• Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции $f$, непрерывной на отрезке $[a,b]$, является отрезок $[\min f,\max f],$ где минимум и максимум берутся по отрезку $[a,b]$.
• Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\cdot f(b)<0,$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=0$.
• Теорема о промежуточном значении: если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и число $\phi$ удовлетворяет неравенству $f(a)<\phi <f(b)$ или неравенству $f(a)>\phi >f(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=\phi$.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке $[a,b]$ непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами $f(a)$ и $f(b)$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, причем $f(a)<g(a)$ и $f(b)>g(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=g(\xi ).$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Квадратичная функция одной переменной

Непрерывность квадратичной функции одной переменной $y=x^2$ доказывается тем, что для любого положительного числа $ϵ$ мы можем найти положительное число $\delta$ такое, что выполняется неравенство $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$ для всех $x$ в области определения функции $f$, для которых верно $|x-x_0|<\delta$.

Для $|x-x_0|<\delta$ мы имеем:

$\begin{array}{rl}|f(x)-f(x_0)|& =|x^2-x_0^2|\\ & =|x-x_0||2x_0+(x-x_0)|\text{(По формуле сокращенного умножения для разницы квадратов)}\\ & \le |x-x_0|(2|x_0|+|x-x_0|)\\ & \le \delta (2|x_0|+\delta )\\ \end{array}$.

То есть, так как $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$, то $\delta (2|x_0|+\delta )<ϵ$ или ${\delta }^2+2\delta |x_0|-ϵ<0.$

Применяя формулу корней квадратного уравнения к последнему неравенству как квадратному уравнению, получаем:

$\frac{-2|x_0|-\sqrt{4|x_0{|}^2+4ϵ}}{2}<\delta <\frac{-2|x_0|+\sqrt{4|x_0{|}^2+4ϵ}}{2}.$

Следовательно условие $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$ выполняется, если для $x$ выбрать интервал

$\delta =\frac{-2|x_0|+\sqrt{4|x_0{|}^2+4ϵ}}{2}=-|x_0|+\sqrt{|x_0{|}^2+ϵ}.$

Функция с устранимым разрывом

Функция $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ},$ задаваемая формулой

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

непрерывна в любой точке $x\ne 0.$ Точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

$\lim {}_{x\to 0}f(x)=\lim {}_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ne f(0).$

Функция знака

Функция

$f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array},x\in \mathbb{ℝ}$

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке $x\ne 0$.

Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, причём

$\lim {}_{x\to 0-}f(x)=-1\ne 1=\lim {}_{x\to 0+}f(x)$,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда, определяемая как

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array},x\in \mathbb{ℝ}$

является всюду непрерывной, кроме точки $x=0$, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке $x=0$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array},x\in \mathbb{ℝ}$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Основная статья: Функция Дирихле

Функция

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{\mathbb{Q}}\\ 0,& x\in \mathbb{ℝ}\setminus \mathbb{\mathbb{Q}}\end{array}$

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Основная статья: Функция Римана (ТФДП)

Функция

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{\mathbb{Q}},\text{НОД}(m,n)=1\\ 0,& x\in \mathbb{ℝ}\setminus \mathbb{\mathbb{Q}}\end{array}$

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел ($\mathbb{ℝ}\setminus \mathbb{\mathbb{Q}}$), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность $x_k=m_k/n_k\to x\notin \mathbb{\mathbb{Q}}$, то с необходимостью $n_k\to \mathrm{\infty }$). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.