Мост Вина

Мост Ви́на (иногда в литературе — мост Вина — Робинсо́на^[1]) — пассивный четырёхполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Одна пара плеч моста — последовательно и параллельно соединённые RC-цепи, составляющие совместно квазирезонансную частотно-избирательную цепь, другая пара плеч представляет резистивный делитель напряжения. Модуль передаточной функции сигнала диагонали моста имеет минимум при некотором соотношении величин двухполюсников входящих в схему и является характеристикой заграждающего фильтра.

Предложен Максом Вином в 1891 году.

Применяется в некоторых RC-генераторах для построения автогенераторов синусоидального сигнала с малыми искажениями и удовлетворительной стабильностью частоты и достаточно широким диапазоном перестройки по частоте. Иногда применяется в качестве полосно-заграждающего фильтра.

Мост может быть использован для измерения ёмкости конденсаторов, измерения паразитных параметров конденсаторов, например эквивалентного паразитного последовательного сопротивления (ЭПС), в измерителях нелинейных искажений и др.

Теория[править]

В общем случае мост состоит из четырёх различных по величине сопротивления и ёмкости резисторов и двух конденсаторов. Частотно-зависимой цепью моста является делитель напряжения, состоящий из конденсаторов $C_{1}, C_{2}$ и резисторов $R_{1}, R_{2}$ . Передаточная функция $H_{d R C} (j ω)$ частотно-зависимого делителя напряжения выражается как:

H_{d R C} (j ω) = \frac{R_{1} | | Z_{C_{1}}}{R_{1} | | Z_{C_{1}} + Z_{C_{2}} + R_{2}} =

= \frac{R_{1} | | (1 / j ω C_{1})}{R_{1} | | (1 / j ω C_{1}) + (1 / j ω C_{2}) + R_{2}},

где

Z_{C_{1}}, Z_{C_{1}}

— реактивные сопротивления конденсаторов

C_{1}, C_{1};

j

— мнимая единица.

Символом $| |$ обозначено параллельное соединение элементов, например:

R_{1} | | Z_{C_{1}} = \frac{R_{1} \cdot Z_{C_{1}}}{R_{1} + Z_{C_{1}}} .

Передаточная функция напряжения, снимаемого с диагонали моста $U_{O} = U_{O 2} - U_{O 1}$ равно разности передаточных функций резистивного делителя $R_{3}, R_{4}$ и частотно-зависимого делителя напряжения:

H_{U_{O}} (j ω) = \frac{R_{3}}{R_{3} + R_{4}} - \frac{R_{1} | | (1 / j ω C_{1})}{R_{1} | | (1 / j ω C_{1}) + (1 / j ω C_{2}) + R_{2}} .

Явное выражение для этой функции через сопротивления резисторов и ёмкости конденсаторов громоздко. Можно показать, что частота колебаний $ω_{0 U_{O}}$ , при которой будет наблюдаться минимум модуля комплексной амплитуды напряжения $U_{O}$ диагонали моста будет:

ω_{0 U_{O}} = \frac{1}{\sqrt{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}}} .

Если при этом дополнительно выполняются соотношение между ёмкостями конденсаторов и сопротивлениями резисторов в виде:

\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{R_{4}}{R_{3}} - \frac{R_{2}}{R_{1}},

то модуль комплексной амплитуды напряжения диагонали моста обращается в нуль.

Обычно в фильтрах, генераторах синусоидальных колебаний применяют мост Вина в котором $R_{1} = R_{2} = R$ и $C_{1} = C_{2} = C .$ При таком выборе математические выражения существенно упрощаются.

Передаточная функция частотно-зависимого делителя напряжения:

H_{R C} (j ω) = \frac{j ω T}{- ω^{2} T^{2} + 3 j ω T + 1} = \frac{j Ω}{- Ω^{2} + 3 j Ω + 1} .

Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения (см. рисунок 2):

| H_{R C} (j ω) | = ω T \sqrt{\frac{1}{ω^{4} T^{4} + 7 ω^{2} T^{2} + 1}} = Ω \sqrt{\frac{1}{Ω^{4} + 7 Ω^{2} + 1}} .

Здесь обозначено $Ω = ω R C = ω T = ω / ω_{0},$ $Ω$ — нормированная безразмерная частота, $T = R C$ — постоянная времени RC-цепи, $ω_{0} = 1 / R C$ — частота максимума модуля передаточной функции.

При входной частоте $ω = ω_{0},$ то есть, при $Ω = 1$ модуль коэффициента передачи частотно-зависимого делителя имеет максимум и равен 1/3 и фазовый сдвиг относительно входного напряжения становится равным нулю.

Если выбрать коэффициент передачи $K_{R} = R_{3} / (R_{3} + R_{4})$ резистивного делителя $R_{3}, R_{4}$ равным 1/3, то есть $R_{4} = 2 R_{3},$ то при $ω = ω_{0}$ напряжение диагонали моста станет нулевым.

Передаточная функция напряжения диагонали моста с таким соотношением номиналов компонентов:

H (j ω) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - Ω^{2}}{- Ω^{2} + 3 j Ω + 1},

и модуль этой передаточной функции:

| H (j ω) | = \frac{1}{3} \cdot \frac{| 1 - Ω^{2} |}{\sqrt{{(1 - Ω^{2})}^{2} + 9 Ω^{2}}} .

Фазовый сдвиг $φ$ между входным и выходным напряжениями:

φ = arctg (\frac{- 3 Ω}{1 - Ω^{2}}), Ω \neq 1 .

Графики модуля и фазового сдвига напряжения диагонали моста в полулогарифмических координатах приведены на рисунке 3.

Применение[править]

Мост Вина может использоваться для измерений параметров конденсаторов. При этом в одно из плечей моста включают исследуемый конденсатор, варьируя входящие в мост сопротивления переменных резисторов и ёмкости переменных конденсаторов, а также частоту синусоидального напряжения питания моста, добиваются его балансировки, то есть равенства нулю напряжения диагонали моста.

Неизвестные параметры исследуемого конденсатора можно при этом получить из решения системы уравнений при известных $ω_{b a l}$ — частоты, при которой мост сбалансирован, и величин $R_{2}, C_{2}, R_{3}, R_{4}$ :

ω_{b a l} = \frac{1}{\sqrt{R_{x} R_{2} C_{x} C_{2}}},

\frac{C_{x}}{C_{2}} = \frac{R_{4}}{R_{3}} - \frac{R_{2}}{R_{x}} .

Решение этой системы уравнений:

C_{x} = \frac{C_{2} R_{4}}{R_{3} (R_{2}^{2} C_{2}^{2} ω_{b a l}^{2} + 1)},

R_{x} = \frac{R_{3} (R_{2}^{2} C_{2}^{2} ω_{b a l}^{2} + 1)}{R_{2} C_{2}^{2} R_{4} ω_{b a l}^{2}} .

Соответственно, аналогично можно определить эквивалентное последовательное сопротивление конденсатора, слегка видоизменив схему включения — выполнить регулируемыми $R_{x}, C_{x}$ и вместо $C_{2}, R_{2}$ включить исследуемый конденсатор.

Традиционно мост Вина применяется в генераторах синусоидального сигнала с очень малым коэффициентом гармоник выходного сигнала, где он включен во положительную обратную связь усилителя с автоматически точно поддерживаемым коэффициентом передачи равным 1/3.

Также мост Вина применяется в измерителях нелинейных искажений в качестве фильтра-подавителя первой основной гармоники исследуемого сигнала.

См. также[править]

Примечания[править]

↑ Новиков, 2011, p. 159.

Литература[править]

Новиков Ю. Н. Основные понятия и законы теории цепей, методы анализа процессов в цепях. Учебное пособие для вузов. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2011.
Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники: В 3-х томах = The Art of Electronics: Second Edition (© Cambridge University Press, 1980, 1989) / Пер. с англ.: Б. Н. Бронина, И. И. Короткевич, А. И. Коротова, М. Н. Микшиса, Л. В. Поспелова, О. А. Соболевой, К. Г. Финогенова, Ю. В. Чечёткина, М. П. Шарапова. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — М.: Мир, 1993. — 50 000 экз. — ISBN 5-03-002336-4, 5-03-002337-2, 5-03-002338-0, 5-03-002954-0.

Довгун В. П. Электротехника и электроника. Учебное. пособие в 2 ч. / В. П. Довгун / Министерство образования и науки РФ. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. — 252 с.

[_73be9601ab4fbe67-1] Новиков, 2011, p. 159.

[1]