Метрика Титса

Метрика Титса — метрика определённого типа на абсолюте пространства Адамара. Названа в честь Жака Титса.

Построение

Пусть $X$ — пространство Адамара. Обозначим через ${\partial }_{\mathrm{\infty }}X$ его абсолют, то есть множество лучей исходящих из одной точки $p$.

Для двух лучей $\alpha$ и $\beta$ из ${\partial }_{\mathrm{\infty }}X$ определяется угол ${\measuredangle }_{\mathrm{\infty }}(\alpha ,\beta )$ как предел угла сравнения в треугольнике $[p\alpha (t)\beta (t)]$ при $t\to \mathrm{\infty }$, то есть угла в плоского треугольника с теми же сторонами, что у $[p\alpha (t)\beta (t)]$ при вершине соответствующей $p$.

Угол ${\measuredangle }_{\mathrm{\infty }}$ определяет так называемую угловую метрику на ${\partial }_{\mathrm{\infty }}X$, со значениями в интервале $[0,\pi ]$.

Внутренняя метрика ассоциированная с ${\measuredangle }_{\mathrm{\infty }}$ называется метрикой Титса; она принимает значения в интервале $[0,\mathrm{\infty }]$.

Замечания

• Метрика Тица совпадает угловой метрикой на парах точек с расстоянием меньше $\pi$
• Метрика не зависит от выбора точки $p$.
• Абсолют ${\partial }_{\mathrm{\infty }}X$ можно также определить как фактор пространства всех лучей в $X$ по параллельности, то есть отношению эквивалентности на лучах определяемое как $\alpha \parallel \beta$ если расстояния $|\alpha (t)-\beta (t){|}_X$ ограничены при всех значениях $t$.

Примеры

• Для евклидова пространства, аболют с метрикой Титса изометричен единичной сфере.
• Для пространства Лобачевского метрика Титса дискретна, расстояния между любыми различными точками равно $\mathrm{\infty }$.

Свойства

• Абсолют ${\partial }_{\mathrm{\infty }}X$ с метрикой Титса является CAT(1) пространством.
• Абсолют произваедения двух пространств Адамара ${\partial }_{\mathrm{\infty }}(X\times Y)$ с метрикой Титса изометричен сферическому джойну соответствующих абсолютов $({\partial }_{\mathrm{\infty }}X)\star ({\partial }_{\mathrm{\infty }}Y)$ с метриками Титса.