Конгруэнция

Конгруэнция — отношение эквивалентности на алгебраической системе, сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую факторсистему — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.

Определение

Отношение $\theta (x_1,\dots ,x_m)$ на множестве $A$ называется стабильным относительно $n$-арной операции $f$, определённой на этом множестве, если для любых элементов $a_{i1},\dots ,a_{im}$ ($i=1,\dots ,n$) множества $A$ из истинности отношений $\theta (a_{i1},\dots ,a_{im})$ ($i=1,\dots ,n$) вытекает истинность отношения $\theta (f(a_{11},\dots ,a_{n1}),\dots ,f(a_{1m},\dots ,a_{nm}))$.

Отношение $\theta$ называется конгруэнцией на алгебраической системе $\mathfrak{𝔄}$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы $\mathfrak{𝔄}$. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы $\mathfrak{𝔄}$.)

Факторсистема

Основная статья: Факторсистема

Для алгебраической системы $\mathfrak{𝔄}=(A,\mathrm{\Phi },\mathrm{P})$ на фактормножестве $A/\theta$ по конгруэнции $\theta \subseteq A^2$ для всех операций $f_i\in \mathrm{\Phi }$ и отношений $r_i\in \mathrm{P}$ естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

$f_i^{\star }([a_1{]}_{\theta },\dots ,[a_n{]}_{\theta })=[f_i(a_1,\dots ,a_n){]}_{\theta }$,

$r_i^{\star }([a_1{]}_{\theta },\dots ,[a_m{]}_{\theta })\iff \mathrm{\exists }(b_1\in [a_1{]}_{\theta },\dots ,b_m\in [a_m{]}_{\theta })r_i(b_1,\dots ,b_m)$.

Получающаяся система обозначается $\mathfrak{𝔄}/\theta$ и называется факторсистемой, а отображение $h_{\theta }:\mathfrak{𝔄}\to \mathfrak{𝔄}/\theta$, определяемое правилом $h_{\theta }(a)=[a{]}_{\theta }$ — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathfrak{𝔄})$ образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

${\theta }_1⩽{\theta }_2\iff \mathrm{\forall }a,b\in Aa{\theta }_{1}b\to a{\theta }_{2}b$.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы $\{{\theta }_i,i\in I\}\subseteq \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathfrak{𝔄})$ имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

${𝒜}/\bigcap _{i\in I}{\theta }_i\hookrightarrow \prod _{i\in I}\mathfrak{𝔄}/{\theta }_i$.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.