Кольцо Куммера

В общей алгебре кольцо Куммера $\mathbb{\mathbb{Z}}[\zeta ]$ — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

$n_0+n_1\zeta +n_2{\zeta }^2+...+n_{m-1}{\zeta }^{m-1}$

где ζ — m^th корни из единицы, то есть

$\zeta =e^{2\pi i/m}$

и все n_k целые.

Кольцо Куммера является расширением $\mathbb{\mathbb{Z}}$ кольца целых, отсюда и обозначение $\mathbb{\mathbb{Z}}[\zeta ]$. Поскольку минимальным многочленом для ζ является m-й круговой многочлен, кольцо $\mathbb{\mathbb{Z}}[\zeta ]$ является расширением степени $\varphi (m)$ (здесь φ обозначает функцию Эйлера).

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит $\{1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{m-1}\}$. По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, За исключением случаев m=1 и m=2 (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая m=4 (гауссовы целые числа) и случаев m=3, m=6 (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.

См. также

• Теория Куммера
• Круговое поле

Ссылки

• Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149