Класс QMA

В теории сложности, QMA (от англ. Quantum Merlin Arthur) — это квантовый аналог NP в классической теории сложности и аналог MA в вероятностной. Он связан с BQP также, как NP связан с P, или MA связан с BPP.

Неформально — это множество языков для принадлежности к которым есть полиномиальное квантовое доказательство, принимаемое полиномиальным по времени квантовым алгоритмом с высокой вероятностью.

Определение

Язык L принадлежит $\text{QMA}(c,s)$ если существует полиномиальный по времени квантовый алгоритм V и многочлен p(x) такой, что:

• $\mathrm{\forall }x\in L$, существует квантовое состояние $|\psi ⟩$ такое, что вероятность того, что V примет $(|x⟩,|\psi ⟩)$ больше чем $c$.
• $\mathrm{\forall }x\notin L$, для любого квантового состояния $|\psi ⟩$, вероятность того, что V примет $(|x⟩,|\psi ⟩)$ меньше чем $s$.

где $|\psi ⟩$ квантовое состояние с p(x) кубитами.

Класс $\text{QMA}$ определим как класс равный $\text{QMA}(2/3,1/3)$. На самом деле константы не важны и класс не изменится, если $c$ и $s$ произвольные константы такие, что $c$ больше $s$. Также для любых многочленов $q(n)$ и $r(n)$, верно

$\text{QMA}(\frac{2}{3},\frac{1}{3})=\text{QMA}(\frac{1}{2}+\frac{1}{q(n)},\frac{1}{2}-\frac{1}{q(n)})=\text{QMA}(1-2^{-r(n)},2^{-r(n)})$.

Связанные классы

$\text{QCMA}$ (или $\text{MQA}$) название читается как квантовый классический Мерлин Артур (или Мерлин Квантовый Артур), является аналогом QMA, но доказательство (присылаемое Мерлином) должно быть обычной строкой. Неизвестно совпадают ли QMA и QCMA.

$\text{QIP}(k)$ — это класс языков распознаваемых квантовыми интерактивными протоколами с полиномиальным временем и k раундами, является обобщением QMA в котором разрешается передавать не одно сообщение, а k. Из определения следует, что QMA совпадает с QIP(1). Про QIP(2) известно, что он содержится в PSPACE.

$\text{QIP}$ — это класс языков из QIP(k), где k разрешается быть полиномиальным от числа кубит. Известно, что QIP(3) = QIP. Так же известно, что QIP = IP.

${\text{QMA}}_1$ — это класс языков принимаемых квантовым протоколами Мерлин Артур с идеальной полнотой.

Отношения с другими классами

Про QMA известно, что

$\text{P}\subseteq \text{NP}\subseteq \text{MA}\subseteq \text{QCMA}\subseteq \text{QMA}\subseteq \text{PP}\subseteq \text{PSPACE}$

Первое вложение следует из определения NP. Следующие два включения верны из-за того, что верифаеры становятся более сильными. Утверждение о том, что QMA содержится в PP был доказан Алексеем Китаевым и Джоном Ватрусом. PP также содержится в PSPACE.

Неизвестно какие из этих включений строгие.

Литература

• «Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring» P.W. Shor, AT&T Bell Labs. doi:10.1109/SFCS.1994.365700

Ссылки

• А. Х. Шень, М. Н. Вялый, Курс лекций «Классические и квантовые вычисления». Лекция 8: Определение квантового вычисления. Примеры // Интуит.ру, 15.03.2007