Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем $\mathbb{𝕂}$, с блоками вида

$J_{\lambda }=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& \lambda & \ddots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \ddots & \lambda & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& \lambda \\ \end{array}\right).$

Каждый блок $J_{\lambda }$ называется жордановой клеткой с собственным значением $\lambda$ (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы $A$ над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{𝕂}$ (например, полем комплексных чисел $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица $C$ над $\mathbb{𝕂}$, такая, что

$J=C^{-1}AC$

является жордановой матрицей. При этом $J$ называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы $A$. В этом случае также говорят, что жорданова матрица $J$ в поле $\mathbb{𝕂}$ подобна (или сопряжена) данной матрице $A$. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

$A=CJ{C}^{-1}$

матрица $A$ подобна в поле $\mathbb{𝕂}$ матрице $J$. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над $\mathbb{𝕂}$ в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Свойства

• Количество жордановых клеток порядка $n$ с собственным значением $\lambda$ в жордановой форме матрицы $A$ можно вычислить по формуле

  $c_n(\lambda )=\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^{n-1}-2\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^n+\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^{n+1},$

где $I$ — единичная матрица того же порядка что и $A$, символ $\mathrm{rank}$ обозначает ранг матрицы, а $\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^0$, по определению, равен порядку $A$. Вышеприведённая формула следует из равенства

$\mathrm{rank}(A-\lambda I)=\mathrm{rank}(J-\lambda I).$

• В случае если поле $\mathbb{𝕂}$ не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица $A$ была подобна над $\mathbb{𝕂}$ некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле $\mathbb{𝕂}$ содержало все корни характеристического многочлена матрицы $A$.
• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
• Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
• Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История

Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.

Вариации и обобщения

• Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа, $\beta \ne 0$. В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок $J_{{\lambda }_{1,2}}$, и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида $J_{{\lambda }_{1,2}}$, отвечающие парам комплексных собственных значений:

$J_{{\lambda }_{1,2}}=\left(\begin{array}{ccccccccccc}\alpha & \beta & 1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0& 0\\ -\beta & \alpha & 0& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \alpha & \beta & 1& 0& \cdots & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -\beta & \alpha & 0& 1& \ddots & 0& 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & \alpha & \beta & 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & -\beta & \alpha & 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& \alpha & \beta \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& -\beta & \alpha \\ \end{array}\right).$

• Теорема о жордановой нормальной форме является частным случаем теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Действительно, классификация матриц соответствует классификации линейных операторов, а векторные пространства над полем $\mathbb{𝕂}$ с фиксированным линейным оператором биективно соответствуют модулям над кольцом многочленов $\mathbb{𝕂}[x]$ (умножение вектора на $x$ задаётся как применение линейного оператора).

• Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы (например, фробениусова нормальная форма). К их рассмотрению прибегают, в частности, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.

См. также

• Каноническая форма Вейра

Литература

• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
• В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.