Длина Рэлея

Ширина гауссова пучка w(z) как функция z. w₀: перетяжка пучка; b: глубина резкости; z_R: длина Рэлея; Θ: угловая расходимость пучка

Длина́ Рэле́я или диапазо́н Рэле́я, ($z_{\mathrm{R}}$), — в оптике и лазерной физике — расстояние вдоль направления распространения пучка от перетяжки до места, где площадь поперечного сечения этого пучка удваивается. Связанным с этим параметром является конфокальный параметр b, равный удвоенной длине Рэлея. Длина Рэлея особенно важна, когда пучки рассматриваются как Гауссовы пучки.

Объяснение

Для Гауссова пучка, распространяющегося в свободном пространстве вдоль оси $\hat{z}$ с волновым числом $k=2\pi /\lambda$, длина Рэлея определяется как:

$z_{\mathrm{R}}=\frac{\pi w_0^2}{\lambda }=\frac{1}{2}k{w}_0^2$,

где $\lambda$ — длина волны (длина волны в вакууме, делённая на $n$ — показатель преломления) и $w_0$ — перетяжка пучка, то есть ширина пучка в его самой узкой точке. Это уравнение как и последующие предполагает, что перетяжка не очень мала: $w_0\ge 2\lambda /\pi$.

Ширина пучка на расстоянии z от перетяжки задаётся следующей формулой:

$w(z)=w_0\sqrt{1+{\left(\frac{z}{z_{\mathrm{R}}}\right)}^2}.$

Минимальное значение $w(z)$ находится в $w(0)=w_0$, по определению. На расстоянии $z_{\mathrm{R}}$от перетяжки пучка его ширина увеличивается в $\sqrt{2}$ раз, а площадь поперечного сечения увеличивается в 2 раза.

Связанные уравнения

Общий угловой разброс гауссова пучка в радианах связан с длиной Рэлея следующим образом:

${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}}\simeq 2\frac{w_0}{z_R}.$

Диаметр пучка в области перетяжки определяется по формуле:

$D=2w_0\simeq \frac{4\lambda }{\pi {\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}}}$ .

Эти уравнения справедливы в рамках параксиального приближения. Для пучков с гораздо большей расходимостью модель гауссова луча не является точной, и для его точного нахождения требуется физико-оптический анализ.

См. также

• Гауссова функция
• Глубина резко изображаемого пространства
• Уравнение электромагнитной волны
• Гауссов пучок

Литература

• Яворский Б. М. Детлаф, А. А. Курс физики. Том III. Волновые процессы, оптика, атомная и ядерная физика. — Москва : Высшая школа, 1972.
• Апенко М. И. Дубовик А. С. Прикладная оптика. — Москва : Наука, 1982.
• Ландсберг Г. С. Оптика : учебное пособие для вузов. — Москва : Физматлит, 2003.
• Бутиков Е. И. Оптика : учебное пособие для вузов. — СПб., : БХВ-Петербург : Невский ДиалектЪ, 2003.
• Заказнов Н. П. Кирюшин С. И. Кузичев В. И. Теория оптических систем : учебное пособие для студентов вузов. — СПб., : Лань, 2008.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. — Москва : Физматлит, 2014.
• Запрягаева Л. А. Прикладная оптика. Ч. 1. Введение в теорию оптических систем. — Москва : Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии, 2017.