Диффеоморфизм

Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Определение

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение $f:M\to N$ гладкого многообразия $M$ в гладкое многообразие $N$, обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается $C^{\mathrm{\infty }}$-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса $C^k$ при любом натуральном $k$.

Примеры

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения

• Если для $M$ и $N$ существует диффеоморфизм $f:M\to N$, то говорят, что $M$ и $N$ диффеоморфны.
  • Обычно это отношение обозначается $M\cong N$.
  • Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

• Множество диффеоморфизмов многообразия $M$ в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов $M$ и обозначаемую $\mathrm{Diff}M$.

• Отображение $f:M\to N$ называется локальным диффеоморфизмом в точке $x\in M$ если его сужение на некоторую окрестность точки $x$ является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки $y=f(x)\in N$.

Свойства

• Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
  • Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, экзотическая сфера).
• Взаимно однозначное отображение $f:M\to N$ является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также

• Гомеоморфизм

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.