Диада

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, внешнее произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

$A_{ij}=a_i{b}_j,$

В бескоординатной форме

$\mathbf{𝐀}=\mathbf{𝐚}\otimes \mathbf{𝐛}$, либо просто $\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐛}$

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

$\left[\begin{array}{ccccc}0& \dots & a_1& \dots & 0\\ 0& \dots & a_2& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& \dots & a_n& \dots & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \dots \\ a_n\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{ccccc}0& \dots & 1& \dots & 0\end{array}\right]$

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады

Например, рассмотрим пару векторов

$\mathbf{𝐀}=a\mathbf{𝐢}+b\mathbf{𝐣}$

и

$\mathbf{𝐁}=c\mathbf{𝐢}+d\mathbf{𝐣}.$

Тогда тензорное произведение A и B равно

$\mathbf{𝐀}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐁}=ac\mathbf{𝐢}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐢}+ad\mathbf{𝐢}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐣}+bc\mathbf{𝐣}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐢}+bd\mathbf{𝐣}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐣}$.

Оператор вращения

Двухвалентный тензор

$\mathbf{𝐣}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐢}-\mathbf{𝐢}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐣}$ -

это оператор вращения плоскости на 90° (против часовой стрелки). Он действует слева от вектора и производит вращение:

$(\mathbf{𝐣}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐢}-\mathbf{𝐢}\mathbf{\otimes }\mathbf{𝐣})\cdot (x\mathbf{𝐢}+y\mathbf{𝐣})=x\mathbf{𝐣}\mathbf{(}\mathbf{𝐢}\cdot \mathbf{𝐢}\mathbf{)}-x\mathbf{𝐢}\mathbf{(}\mathbf{𝐣}\cdot \mathbf{𝐢}\mathbf{)}+y\mathbf{𝐣}\mathbf{(}\mathbf{𝐢}\cdot \mathbf{𝐣}\mathbf{)}-y\mathbf{𝐢}\mathbf{(}\mathbf{𝐣}\cdot \mathbf{𝐣}\mathbf{)}=-y\mathbf{𝐢}+x\mathbf{𝐣}.$

Использование диад

В физике

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

Литература

• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М.: Наука, 1965. — 424  с.
• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575  с.