Гомеоморфизм

Не следует путать с гомоморфизмом.

Классический пример гомеоморфизма: кружка и бублик (тор) топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (греч. ὅμοιος — похожий, μορφή — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку при непрерывности биекции образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение

Пусть $(X,{{𝒯}}_X)$ и $(Y,{{𝒯}}_Y)$ — два топологических пространства. Функция $f:X\to Y$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также сама $f$ и обратная функция $f^{-1}$ непрерывны.

Связанные определения

• Пространства $X$ и $Y$ в таком случае называются гомеомо́рфными, или топологи́чески эквивале́нтными.
  • Обычно это отношение обозначается $X\simeq Y$.
• Свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примеры топологических свойств: все виды отделимости в топологических пространствах, связность и несвязность, линейная связность, компактность, односвязность, метризуемость, а также локальные аналоги перечисленных свойств (локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность, локальная метризуемость), свойство быть топологическим многообразием, конечномерность, бесконечномерность и размерность топологических многообразий и др.
• Локальным гомеоморфизмом пространств называется непрерывное сюръективное отображение $f:X\to Y$, если каждая точка $x\in X$ обладает такой окрестностью $U\ni x$, что ограничение $f$ на $U$ является гомеоморфизмом $f{|}_U:U\to f(U)$ между $U$ и её образом $f(U)$.
  • Пример. Отображение $x\to (\cos x,\sin x)$ является локальным гомеоморфизмом между числовой прямой $\mathbb{ℝ}$ и окружностью $S^1$. Однако эти пространства не гомеоморфны, например, потому, что окружность компактна, а прямая - нет.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть $|a,b|\subset \mathbb{ℝ}$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b|\to f(|a,b|)\subset \mathbb{ℝ}$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$

Пример

• Произвольный открытый интервал $(a,b)\subset \mathbb{ℝ}$ гомеоморфен всей числовой прямой $\mathbb{ℝ}$. Гомеоморфизм $f:(a,b)\to \mathbb{ℝ}$ задаётся, например, формулой

$f(x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\pi \frac{x-a}{b-a}\right).$

• Интервал $(0,1)$ гомеоморфен отрезку $[0,1]$ в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorphism, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4