Гиперболоид

Гиперболо́ид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность) — незамкнутая центральная поверхность второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемая в декартовых координатах уравнением

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

(однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

или

- \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

(двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось. ^[1]

В литературе (особенно старой) вместо терминов "однополостный гиперболоид" и "двухполостной гиперболоид" могут использоваться термины "однополый гиперболоид" и "двуполый гиперболоид". Имеется в виду, что однополый и двуполый гиперболоиды состоят из одной и двух поверхностей-пол соответственно (имеется в виду пола́ как деталь одежды).

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: $| A P - B P | = c o n s t$ . В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.^[2]

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В науке и технике[править]

Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Кассегрена и в антеннах Кассегрена.

Галерея[править]

Проект 350-метровой башни В. Г. Шухова, 1919
Оптическая схема телескопа Кассегрена. Малое зеркало имеет форму гиперболоида.
Однополостный гиперболоид

В искусстве[править]

В архитектуре[править]

Линейчатая конструкция, имеющая форму однополостного гиперболоида, является жёсткой: если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил.

Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.

Примерами гиперболоидных конструкций являются: