Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$\begin{aligned} (a + b)^{n} & = a^{n} + \frac{n}{1} a^{n - 1} b + \frac{n (n - 1)}{1 \cdot 2} a^{n - 2} b^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} a^{n - 3} b^{3} + \dots . \end{aligned}$

или если использовать биномиальный коэффициент

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + \dots + (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} + \dots + (\binom{n}{n}) b^{n},

где $(\binom{n}{k}) \equiv C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ — биномиальные коэффициенты, $n$ — неотрицательное целое число.

Формула бинома Ньютона является частным случаем полиномиальной формулы.

Примеры:

\begin{aligned} (x + y)^{2} & = x^{2} + 2 x y + y^{2}, \\ (x + y)^{3} & = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}, \\ (x + y)^{4} & = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}, \\ (x + y)^{5} & = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} . \end{aligned}

Коэффициенты полинома упорядочиваются в треугольник Паскаля. Каждая строка треугольника Паскаля соответствует $n$ -ой степени бинома и показывает коэфициенты полинома.

Тривиальным следствием бинома Ньютона является неравенство Бернулли.

Доказательство[править]

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени $a^{k} b^{n - k}$ нужно из $k$ скобок выбрать $a$ , а из оставшихся $n - k$ выбрать $b$ . Вариантов выбрать $a$ в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть $n$ . Затем, соответственно, $n - 1$ , и так далее до $n - k + 1$ на $k$ -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых $k!$ . Нормируя, получаем в точности $C_{n}^{k}$ . Ниже приводится доказательство по индукции.

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по $n$ :

База индукции: $n = 0$

(a + b)^{0} = 1 = (\binom{0}{0}) a^{0} b^{0}

Шаг индукции: Пусть утверждение для $n$ верно:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

Тогда надо доказать утверждение для $n + 1$ :

(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}

Начнём доказательство:

(a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n} = (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k + 1} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1}

Извлечём из первой суммы слагаемое при $k = 0$

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k + 1} b^{k} = a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k + 1} b^{k}

Извлечём из второй суммы слагаемое при $k = n$

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1} = b^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1} = b^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{n - k + 1} b^{k}

Теперь сложим преобразованные суммы:

a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k + 1} b^{k} + b^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{n - k + 1} b^{k} = a^{n + 1} + b^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} ((\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1})) a^{n - k + 1} b^{k} =

= \sum_{k = 0}^{0} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = n + 1}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}

Что и требовалось доказать. ■

Обобщения[править]

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1 + x)^{r}$ в ряд Тейлора:

(1 + x)^{r} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{r}{k}) x^{k},

где $r$ может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

(\binom{r}{k}) = \frac{1}{k!} \prod_{n = 0}^{k - 1} (r - n) = \frac{r (r - 1) (r - 2) \dots (r - (k - 1))}{k!} .

При этом ряд

(1 + z)^{α} = 1 + α z + \frac{α (α - 1)}{2} z^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} z^{n} + \dots

сходится при $| z | ⩽ 1$ .

В частности, при $z = \frac{1}{m}$ и $α = x \cdot m$ получается тождество

{(1 + \frac{1}{m})}^{x m} = 1 + x + \frac{x m (x m - 1)}{2 m^{2}} + \dots + \frac{x m (x m - 1) \dots (x m - n + 1)}{n! m^{n}} + \dots .

Переходя к пределу при $m \to \infty$ и используя второй замечательный предел $\lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m} = e$ , выводим тождество

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема[править]

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{\binom{k_{j} ⩾ 0}{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n}} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} \dots x_{m}^{k_{m}},

где

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!}

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам $k_{j}$ , сумма которых равна $n$ (то есть по всем композициям числа $n$ длины $m$ ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения $x_{j}^{0} = 1$ , даже если $x_{j} = 0$ .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по $n$ , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При $m = 2$ , выражая $k_{2} = n - k_{1}$ , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла[править]

Пусть $B_{n} (a_{s}) = B_{n} (a_{1}, \dots, a_{n})$ и $B_{0} = 1$ , тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

B_{n} (a_{s} + b_{s}) = \sum_{i + j = n} (\binom{n}{i, j}) B_{i} (a_{s}) B_{j} (b_{s}) .

Примеры[править]

$(x + 1)^{2}$

Бином $(x + 1)$ второй степени $n = 2$ , с коэффициентами полинома согласно треугольнику Паскаля $1, 2, 1$ (в выражении, коэфффициенты полинома также выделены красным цветом):

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (x + 1)^2 = {\color{red}1} × x^2 × 1^0 + {\color{red}2} × x^1 × 1^1 + {\color{red}1} × x^0 × 1^2=x^2 + 2x + 1}

$(a + b)^{3}$

Бином $(a + b)$ третьей степени $n = 3$ , с коэффициентами полинома согласно треугольнику Паскаля $1, 3, 3, 1$ (в выражении, коэфффициенты полинома также выделены красным цветом). Степени переменных $a$ и $b$ систематически записаны в нисходящем и восходящем порядке, соответственно:

$(a + b)^{3} = 1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b^{1} + 3 a^{1} b^{2} + 1 a^{0} b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

История[править]

Формула бинома Ньютона была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе[править]

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)^[1]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»