Беспорядок (перестановка)

Не следует путать с Инверсия (перестановка).

В комбинаторике беспорядком называется перестановка без неподвижных точек.

Примеры

Проверка работ

Допустим, профессор дал четырём студентам (назовём их A, B, C и D) контрольную, а затем предложил им проверить её друг у друга. Естественно, ни один студент не должен проверять свою контрольную. Сколько у профессора вариантов распределения контрольных, в которых ни одному студенту не достанется своя работа? Из всех 24 перестановок (4!) для возврата работ, нам подходят только 9 беспорядков:

   BADC, BCDA, BDAC,
   CADB, CDAB, CDBA,
   DABC, DCAB, DCBA.

В любой другой перестановке этих 4 элементов как минимум один студент получает свою контрольную на проверку.

Задача о письмах

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и так далее.

Если $n$ писем случайным образом положить в $n$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-нибудь из писем попадёт в свой конверт?

Ответ даётся выражением

$1-\frac{!n}{n!}\approx 1-\frac{1}{e}.$

Таким образом, ответ слабо зависит от количества писем и конвертов и примерно равен константе $1-\frac{1}{e}\approx 0,63212$.

Количество беспорядков

Количество всех беспорядков порядка n может быть вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением

$!n=n!-\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}-\frac{n!}{3!}+\dots +(-1{)}^n\frac{n!}{n!}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{n!}{k!},$

которое называется субфакториалом числа n.

Количество беспорядков $!n=d(n)$ удовлетворяет рекурсивным соотношениям

$d(n)=(n-1)[d(n-1)+d(n-2)]$

и

$d(n)=nd(n-1)+(-1{)}^n,$

где $d(1)=0$ и $d(2)=1$.

Ввиду того, что $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{1}{k!}=\frac{1}{e}$, значение $!n$ с ростом $n$ ведёт себя как $\frac{n!}{e}$. Более того, при $n>0$ его можно представить как результат округления числа $\frac{n!}{e}$.

См. также

• Парадокс дней рождения

Ссылки

• Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — С. 107-108.