Кардинальный синус

Графики нормированной и ненормированной функций sinc(x) в диапазоне −7π ≤ x ≤ 7π.

Кардина́льный си́нус, sinc (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как

   $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\{\begin{array}{lll}\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}& ;& x\ne 0\\ 1& ;& x=0\\ \end{array}$

2. В математике ненормированная функция sinc определяется как

   $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\{\begin{array}{lll}\frac{\sin \left(x\right)}{x}& ;& x\ne 0\\ 1& ;& x=0\\ \end{array}$

Нормировка функции выполняется из условия:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin ax}{ax}dx=1$

откуда $a=\pi .$

для ненормированной функции ($a=1$):

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\pi .$

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

• $\mathrm{sinc}\left(0\right)=1$ и $\mathrm{sinc}\left(k\right)=0$ для всех $k\ne 0$ и $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (целые числа); то есть это интерполянт.

• функции $x_k\left(t\right)=\mathrm{sinc}(t-k)$ формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве $L^2\left(\mathbb{ℝ}\right)$, с наибольшей круговой частотой ${\omega }_H=\pi$.

• Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная $\frac{\sin x}{x}$ равна нулю (локальный экстремум в точке $x=a$), выполняется условие $\frac{\sin a}{a}=\cos a$.

• Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.

• Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x).

• Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}$ (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции $\mathrm{rect}\left(f\right)$.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sinc}\left(t\right)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm{rect}\left(f\right)$,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

• Разложение в бесконечное произведение:

$\mathrm{sinc}\left(x\right)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$

• Выражение через гамма-функцию:

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

где $\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ — гамма-функция.

Использование и приложения

• Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
• Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
• В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
• Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
• Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
• Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
• Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналов

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также

• Сглаживание
• sinc-фильтр
• Атомарная функция
• Интегральный синус