Предел (математика)

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции^[1].

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История[править]

Обоснование термина[править]

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом^[2]. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось ещё учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций^[3].

Символ предела[править]

Общепринятый символ предела $\lim_{x \to a} f (x)$ был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате: $lim. x : a;$ это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла^[4]. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: ${Lim}_{x = a}$ ^[5]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков^[6].

Обозначения для одностороннего предела вида $\lim_{x \to a + 0} f (x)$ первым предложил Дирихле (1837) в виде: $f (a + 0), f (a - 0) .$ Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: $\lim \sup$ и $\lim \inf$ соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: $\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} x_{n}, \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} x_{n},$ введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году^[7].

Предел последовательности[править]

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.

Число $a$ называется пределом последовательности $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}, . . .$ , если

$\forall ε > 0, \exists N (ε), \forall n > N (ε) | x_{n} - a | < ε$ .

Предел последовательности обозначается $\lim_{n \to + \infty} x_{n}$ . Допускается обозначение $\lim x_{n}$ .^{[источник не указан 1968 дней]}

Свойства:

Если предел последовательности существует, то он единственный.
$\lim c = c$ $, c = c o n s t .$
$\lim (x_{n} + y_{n}) = \lim x_{n} + \lim y_{n}$ (если оба предела существуют)
$\lim (q x_{n}) = q \lim x_{n}$ $, q = c o n s t .$
$\lim (x_{n} y_{n}) = \lim x_{n} \lim y_{n}$ (если оба предела существуют)
$\lim (x_{n} / y_{n}) = \lim x_{n} / \lim y_{n}$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
Если $a_{n} > x_{n} > b_{n} \forall n$ и $\lim a_{n} = \lim b_{n}$ , то $\lim x_{n} = \lim a_{n} = \lim b_{n}$ (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции[править]

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен $L$ .

Функция $f (x)$ имеет предел $A$ в точке $x_{0}$ , если для всех значений $x$ , достаточно близких к $x_{0}$ , значение $f (x)$ близко к $A$ .

Число b называется пределом функции $f (x)$ в точке $a$ , если $\forall ε > 0$ существует $δ > 0$ , такое что $\forall x, 0 < | x - a | < δ$ выполняется $| f (x) - b | < ε$ .

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например, $\lim_{x \to x_{0}} (f (x) + g (x)) = \lim_{x \to x_{0}} f (x) + \lim_{x \to x_{0}} g (x)$ — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Понятие предела последовательности на языке окрестностей[править]

Пусть $X$ — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности $U$ (например, метрическое пространство). Пусть $x_{i} \in X$ — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что $x \in X$ есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки $x$ лежат почти все члены последовательности, или $\forall U (x) \exists n, \forall i > n x_{i} \in U (x)$

Замечательные пределы[править]

Замечательные пределы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

Первый замечательный предел:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 .$
Второй замечательный предел:
$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e .$

Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.

Ультрапредел[править]

Ультрапредел — это конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности метрических пространств и последовательности функций на них. Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности. Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

См. также[править]

Примечания[править]

↑ Математическая энциклопедия, 1984, с. 556.
↑ Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.— Л., Гостехиздат, 1948. — С. 14
↑ Цыпкин А. Г. Справочник по математике. — М.: «Наука», 1983.
↑ Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.
↑ Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 133—135. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint), §631—637. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

Литература[править]

Предел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4.

[_06f5d90dda1bed7c-1] Математическая энциклопедия, 1984, с. 556.

[2] Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.— Л., Гостехиздат, 1948. — С. 14

[3] Цыпкин А. Г. Справочник по математике. — М.: «Наука», 1983.

[LIMES-4] Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.

[5] Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.

[6] Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 133—135. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[7] Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint), §631—637. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]