Почти всюду

Запрос «Почти все» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль.

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду. Например для функций $f$ и $h$ выражение

$f={=}^{\text{п.в.}}h$

означает, что равенство

$f(x)=h(x)$

выполняется при почти всех значениях переменной $x$.

Почти все

Выражение "почти все" означает "все за исключением пренебрежимого множества". Пренебрежимое множество это множество, которое может не учитываться в определенном рассмотрении. В общей алгебре "почти все" означает все элементы множества за исключением конечного множества или конечного числа элементов.

Определение

Пусть $(X,{ℱ},\mu )$ — пространство с мерой. Обозначим символом $T$ множество точек из $X$, для которых верно некоторое утверждение ${𝒜}$. Говорят, что утверждение ${𝒜}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

$(X\setminus T)\subset A,\mu (A)=0$

Замечания

• Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
• Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

Примеры

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо $m(\mathbb{\mathbb{Q}})=0$, где $m$ — мера Лебега на $\mathbb{ℝ}$.
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Сходимость почти всюду