H-теорема

В термодинамике и кинетической теории, $H$-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.

Формулировка

При временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния.

H-теорема

Величина $H$ определяется как интеграл по пространству скоростей:

$H\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int P(\ln P)d^{3}v=⟨\ln P⟩,$

где $P(v)$ — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что $H$ не может возрастать.

Для системы из $N$ статистически независимых частиц, $H$ соотносится с термодинамической энтропией $S$ посредством:

$S\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-NkH,$

таким образом, согласно $H$-теореме, $S$ не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

Формулировка

$\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial H_i}{\partial x_i}⩽0$, где $H=\int f\ln f\frac{dp}{m}$, $H_i=\int \frac{p_i}{m}f\ln f\frac{dp}{m}$, $f$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial \mathbf{𝐱}}\cdot \frac{\mathbf{𝐩}}{m}+\frac{\partial f}{\partial \mathbf{𝐩}}\cdot \mathbf{𝐅}=Q(f,f).$

Доказательство

Доказательство следует из неравенства Больцмана $\int \ln fQ(f,f)\frac{dp}{m}⩽0$, где $f$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, $Q(f,f)$ - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на $1+\ln f$ и интегрируем по всем возможным скоростям $\frac{p}{m}$. При этом используется, что $d(f\ln f)=(1+\ln f)df$, неравенство Больцмана $\int \ln fQ(f,f)\frac{dp}{m}⩽0$, $1$ - инвариант столкновений, обращение $f$ в нуль при стремлении скорости к бесконечности.

См. также

• Негэнтропия
• Уравнение Больцмана
• Неравенство Больцмана
• S-теорема Климонтовича

Литература

• Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.
• Климонтович Ю. Л. Введение в физику открытых систем. — М.: Янус-К, 2002. — 284 с. — ISBN 5-8037-0101-7.