H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение

Связное топологическое пространство $X$ вместе с непрерывным отображением

$\mu :X\times X\to X$

с единичным элементом, то есть элементом $e\in X$ такое, что

$\mu (e,x)=\mu (x,e)=x$

для любого $x\in X$ называется H-пространством.

Замечания

• Иногда ограничиваются более слабым условием, что отображения $x\mapsto \mu (e,x)$ и $x\mapsto \mu (x,e)$ гомотопны тождественному (иногда с фиксированным $e\in X$).
  • Данные три определения являются эквивалентными для СW-комплексов.

Примеры

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства $X$ пространство ${{\mathscr{H}}}_X$ всех непрерывных отображений $X\to X$, гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом $\mu :{{\mathscr{H}}}_X\times {{\mathscr{H}}}_X\to {{\mathscr{H}}}_X$ можно определить как композицию $\mu (f,g)=f\circ g$.

• Среди сфер, только ${\mathbb{𝕊}}^0$, ${\mathbb{𝕊}}^1$, ${\mathbb{𝕊}}^3$ и ${\mathbb{𝕊}}^7$ являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • ${\mathbb{𝕊}}^0$, ${\mathbb{𝕊}}^1$ и ${\mathbb{𝕊}}^3$ являются группами Ли, а ${\mathbb{𝕊}}^7$ — нет.

Свойства

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.

См. также

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

Ссылки

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, <http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html> . Section 3.C