F-пространство

В математике, линейное метрическое пространство $V$ называют F-пространством (пространством типа F), если выполнены следующие условия:

1. Умножение на скаляр в $V$ как отображение $(\alpha ,x)\to \alpha x$, где $x\in V$, а $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ или $\alpha \in \mathbb{ℂ}$, непрерывно по метрике $V$ при фиксированном $\alpha$ и стандартной метрике $\mathbb{ℝ}$ или $\mathbb{ℂ}$ при фиксированном $x$
2. Метрика $V$ инвариантна относительно сдвигов, то есть $\rho (x,y)=\rho (x-y,0)$.
3. Метрическое пространство $(V,\rho )$ является полным.

Некоторые авторы называют эти пространства пространствами Фреше, но обычно под пространствами Фреше понимаются локально выпуклые F-пространства.

Справедлива теорема: всякое F-пространство является топологическим векторным пространством.

Примеры

• Все Банаховы пространства и пространства Фреше относятся к F-пространствам.
  • В частности, пространства Lp при $0<p\le \mathrm{\infty }$ являются F-пространствами.