CKM-матрица

CKM-ма́трица, ма́трица Каби́ббо — Кобая́си — Маска́вы (ККМ-матрица, матрица смешивания кварков, иногда раньше называлась KM-матрица) в Стандартной модели физики элементарных частиц — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе слабых взаимодействий, изменяющих аромат. Технически, она определяет преобразование между двумя базисами квантовых состояний: состояниями свободно движущихся кварков (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в слабых взаимодействиях. Она важна также для понимания нарушения CP-симметрии. Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по основам Стандартной модели. Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава, которые добавили одно поколение к матрице, ранее предложенной Николой Кабиббо.

Матрица

$\left[\begin{array}{ccc}{V}_{ud}& V_{us}& V_{ub}\\ V_{cd}& V_{cs}& V_{cb}\\ V_{td}& V_{ts}& V_{tb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}|d⟩\\ |s⟩\\ |b⟩\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}|d^{\prime }⟩\\ |s^{\prime }⟩\\ |b^{\prime }⟩\end{array}\right].$

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором сильных собственных состояний кварков, а справа имеем слабые собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка q к другому кварку q' . Эта вероятность пропорциональна ${\left|V_{q{q}^{\prime }}\right|}^2.$

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны приблизительно:

$\left[\begin{array}{ccc}|V_{ud}|& |V_{us}|& |V_{ub}|\\ |V_{cd}|& |V_{cs}|& |V_{cb}|\\ |V_{td}|& |V_{ts}|& |V_{tb}|\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0,97427\pm 0,00015& 0,22534\pm 0,00065& 0,00351_{-0,00014}^{+0,00015}\\ 0,22520\pm 0,00065& 0,97344\pm 0,00016& 0,0412_{-0,0005}^{+0,0011}\\ 0,00867_{-0,00031}^{+0,00029}& 0,0404_{-0,0005}^{+0,0011}& 0,999146_{-0,000046}^{+0,000021}\end{array}\right].$

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к единичной матрице.

Подсчёт

Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице V, которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть N поколений кварков (2N ароматов), то

1. комплексная матрица N×N содержит 2N² действительных чисел.
2. Ограничивающее условие унитарности ∑_k V_ikV^*_jk = δ_ij. Следовательно, для диагональных компонент (i = j) существует N ограничений, а для остающихся компонент — N(N − 1). Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно N².
3. Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на 2N − 1, то есть общее количество свободных переменных равно (N² − 2N + 1) = (N − 1)².
4. Из них N(N − 1)/2 — углы вращения, называемые кварковыми углами смешивания.
5. Оставшиеся (N − 1)(N − 2)/2 являются комплексными фазами, вызывающими нарушение CP-инвариантности.

Если число поколений кварков N = 2 (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — угол смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется угол Кабиббо в честь Николы Кабиббо.

В Стандартной модели N = 3, следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

Наблюдения и предсказания

Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:

1. переходы u ↔ d и e ↔ ν_e, μ ↔ ν_μ имели похожие амплитуды.
2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности (ΔS = 0).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания θ_c (теперь называемого углом Кабиббо) между d- и s-кварками, чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных каонов уже в 1964 году, появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в 1973 году Кобаяси и Маскавой. Открытие b-кварка в Фермилабе (группой Леона Ледермана) в 1977 году немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — t-кварка.

Универсальность слабых переходов

Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

$\sum _j|V_{ij}{|}^2=1$

для всех поколений i. Это предполагает, что сумма всех связей кварка u-типа со всеми кварками d-типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в 1967 году назвал это соотношение слабой универсальностью. Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты SU(2) взаимодействуют с векторными бозонами слабых взаимодействий с одинаковой константой связи. Это подтверждено во многих экспериментах.

Треугольники унитарности

Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

$\sum _k{V}_{ik}{V}_{jk}^{*}=0.$

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого k, что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на комплексной плоскости. Существует шесть вариантов i и j, поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется треугольником унитарности. Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский BELLE, калифорнийский BaBar и эксперимент LHCb проекта LHC.

Параметризации

Для полного задания CKM-матрицы требуется четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, но наиболее популярны три.

KM-параметры

Изначально параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла (θ₁, θ₂, θ₃) и фазу CP-нарушения (δ).

$\left[\begin{array}{ccc}{c}_1& -s_1{c}_3& -s_1{s}_3\\ s_1{c}_2& c_1{c}_2{c}_3-s_2{s}_3{e}^{i\delta }& c_1{c}_2{s}_3+s_2{c}_3{e}^{i\delta }\\ s_1{s}_2& c_1{s}_2{c}_3+c_2{s}_3{e}^{i\delta }& c_1{s}_2{s}_3-c_2{c}_3{e}^{i\delta }\end{array}\right],$

где θ₁ — угол Кабиббо, c_i и s_i — соответственно косинус и синус угла θ_i.

«Стандартные» параметры

«Стандартная» параметризация CKM-матрицы использует три угла Эйлера (θ₁₂, θ₂₃, θ₁₃) и фазу CP-нарушения (δ). Смешивание между поколениями кварков i и j исчезает, если угол смешивания θ_ij стремится к нулю. Здесь θ₁₂ — угол Кабиббо, c_ij и s_ij — соответственно косинус и синус угла θ_ij.

$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c_{23}& s_{23}\\ 0& -s_{23}& c_{23}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{c}_{13}& 0& s_{13}{e}^{-i{\delta }_{13}}\\ 0& 1& 0\\ -s_{13}{e}^{i{\delta }_{13}}& 0& c_{13}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{c}_{12}& s_{12}& 0\\ -s_{12}& c_{12}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{c}_{12}{c}_{13}& s_{12}{c}_{13}& s_{13}{e}^{-i{\delta }_{13}}\\ -s_{12}{c}_{23}-c_{12}{s}_{23}{s}_{13}{e}^{i{\delta }_{13}}& c_{12}{c}_{23}-s_{12}{s}_{23}{s}_{13}{e}^{i{\delta }_{13}}& s_{23}{c}_{13}\\ s_{12}{s}_{23}-c_{12}{c}_{23}{s}_{13}{e}^{i{\delta }_{13}}& -c_{12}{s}_{23}-s_{12}{c}_{23}{s}_{13}{e}^{i{\delta }_{13}}& c_{23}{c}_{13}\end{array}\right].\end{array}$

На текущий момент наиболее точные значения стандартных параметров:

θ₁₂ = 13,04 ± 0,05°,

θ₁₃ = 0,201 ± 0,011°,

θ₂₃ = 2,38 ± 0,06°,

δ₁₃ = 1,20 ± 0,08 радиана.

Параметры Вольфенштейна

Третья параметризация CKM-матрицы, введёна Линкольном Вольфенштейном, использует параметры λ, A, ρ и η. Параметры Вольфенштейна являются числами порядка единицы и связаны со «стандартной» параметризацией следующими соотношениями:

λ = s₁₂,

Aλ² = s₂₃,

Aλ³(ρ − iη) = s₁₃e^−iδ.

Параметризация Вольфенштейна CKM-матрицы является аппроксимацией «стандартной» параметризации. Если ограничиться членами разложения до порядка λ³, она может быть представлена следующим образом:

$\left[\begin{array}{ccc}1-{\lambda }^2/2& \lambda & A{\lambda }^3(\rho -i\eta )\\ -\lambda & 1-{\lambda }^2/2& A{\lambda }^2\\ A{\lambda }^3(1-\rho -i\eta )& -A{\lambda }^2& 1\end{array}\right].$

CP-нарушение может быть определено измерением ρ − iη.

Используя значения из предыдущего подраздела, можно получить следующие значения параметров Вольфенштейна:

λ = 0,2257+0,0009
−0,0010,

A = 0,814+0,021
−0,022,

ρ = 0,135+0,031
−0,016,

η = 0,349+0,015
−0,017.

См. также

• Стандартная модель (основы) и нарушение CP-инвариантности.
• Квантовая хромодинамика, аромат и сильная CP-проблема.
• PMNS-матрица, аналогичная матрица смешивания для нейтрино.
• Угол Кабиббо

Ссылки

• Томилин К. А. Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах. М.: Физматлит, 2006, 368 с, страница 153. (djvu)
• Griffiths, David J. Introduction to Elementary Particles (неопр.). — Wiley, John & Sons, Inc, 1987.
• Povh, Bogdan et al., (1995). Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts. New York: Springer. ISBN 3-540-20168-8
• CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) [ISBN 0-521-44349-0]
• Particle Data Group on CP violation
• The Babar experiment at SLAC and the BELLE experiment at KEK Japan
• N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 531.
• M. Kobayashi and K. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652. (недоступная ссылка)
• Новосибирские физики опровергнут треугольность идеального треугольника KEK