abc-гипотеза

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году.

abc-гипотеза относится к числу главных нерешённых проблем математики. Если она верна, то из неё следует множество важных результатов теории чисел. До сих пор математическое сообщество не пришло к окончательному выводу о том, можно ли считать её доказанной. В 2012 году японский математик Синъити Мотидзуки предложил доказательство гипотезы, однако оно оказалось таким сложным, что окончательно подтвердить или опровергнуть его пока не удаётся.

Формулировка

Гипотезу удобно формулировать в терминах радикала числа. По определению, радикал целого положительного числа $n$ (обозначается как $\mathrm{rad}(n)$) — это произведение его различных простых делителей. Например,

$\mathrm{rad}(18)=\mathrm{rad}(2\cdot 3^2)=\mathrm{rad}(2\cdot 3)=6$

$\text{rad}(p^k)=p$ для любого простого $p$ в любой степени $k>0$.

Рассмотрим взаимно простые целые положительные числа $a$, $b$ и $c$, такие что $a+b=c$. Для большинства таких троек $\mathrm{rad}(abc)>c$, при этом существуют исключения (и их бесконечно много), то есть такие тройки, что $\mathrm{rad}(abc)<c$.

Гипотеза утверждает, что если радикал $\mathrm{rad}(abc)$ возвести в любую степень, большую единицы, то исключительных троек будет конечное число.

Точнее говоря,

Для любого вещественного Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ε>0} существует не более чем конечное число троек ($a$, $b$, $c$) взаимно простых целых чисел $a$, $b$ и $c$, таких что $a+b=c$ и

$c>\mathrm{rad}(abc{)}^{1+\epsilon }.$

или, в эквивалентной формулировке,

Для любого Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ε>0} существует постоянная Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle K(ε)} , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел $a$, $b$ и $c$, таких, что $a+b=c$, выполняется неравенство Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \max\big(|a|, |b|, |c|\big) \leqslant K(ε) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon}} .

Без ограничения общности можно рассматривать упорядоченные по возрастанию натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Тогда неравенство сводится к условию Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle c \leqslant K(ε) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon}} . Условие Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ε > 0} является существенным: существует бесконечно много $abc$-троек таких, что $c>\mathrm{rad}(abc)$, то есть для любого $K$ существует тройка взаимно простых чисел $a,b,c=a+b$ таких, что $c>K\cdot \mathrm{rad}(abc)$. Например тройка вида $a=1,b=2^{2\cdot 3^n}-1,c=2^{2\cdot 3^n}$, где $K<3^{n-1}$.

Примеры троек

Для любой $abc$-тройки существует такое число $q$, что $c=\mathrm{rad}(abc{)}^q$. Для большинства троек $c<\mathrm{rad}(abc)$, то есть $q<1$. Тройки, у которых $q>1$, являются «исключительными» в том смысле, что их конечное количество для любого Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ε = q - 1} , согласно утверждению гипотезы. Величина

$q(a,b,c)=\frac{\log (c)}{\log (\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">rad</mrow>}(abc))}$

называется показателем качества тройки (англ. quality of the triple). Чем она больше, тем сложнее найти соответствующую тройку. Например,

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Поиску исключительных троек с большим показателем качества был посвящен проект распределённых вычислений ABC@Home, в котором на мощностях компьютеров добровольных участников проекта в 2011 были найдены перебором все тройки, в которых участвуют числа не более чем с 18 знаками. Проект был закрыт в 2015 году, всего было найдено свыше 23 миллионов троек.

Тройка с максимальным известным в настоящее время показателем качества $q=1,6299...$ имеет вид $2+3^{10}\cdot 109=23^5$. Точная верхняя грань множества показателей качества неизвестна. Считается, что она меньше 2, то есть не существует $abc$-троек таких, что $c>\mathrm{rad}(abc{)}^2$. Даже в такой «ослабленной» версии гипотезы она позволяет доказать великую теорему Ферма буквально в две строчки.

Следствия

Гипотеза Била и Великая теорема Ферма

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших $z$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.

Доказательство гипотезы Била на основе abc-гипотезы

Согласно гипотезе Била, если $A^x+B^y=C^z$ ($A$, $B$, $C$, $x$, $y$, $z$ — натуральные и $x,y,z>2$), то $A$, $B$, $C$ имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших $z$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество $z$, для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

$C^z⩽K(\epsilon )\cdot {(\mathrm{rad}(A^x{B}^y{C}^z))}^{1+\epsilon }$

Учтём, что $\mathrm{rad}(A^x{B}^y{C}^z)=\mathrm{rad}(ABC)⩽ABC$. Поэтому:

$C^z⩽K(\epsilon )\cdot {(\mathrm{rad}(ABC))}^{1+\epsilon }⩽K(\epsilon )\cdot (ABC{)}^{1+\epsilon }$

Поскольку из условий теоремы очевидно, что $A<C$ и $B<C$, то $ABC⩽C^3$. Тогда:

$C^z⩽K(\epsilon )\cdot C^{3+3\epsilon }$

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на $\log C$, получим ограничение сверху на величину $z$:

$z⩽\frac{\log K(\epsilon )}{\log C}+3+3\epsilon$,        (*)

причём, отношение $\frac{\log K(\epsilon )}{\log C}$ должно быть конечным, поскольку, по условию $A$, $B$, $C$ — натуральные (то есть $A,B⩾1\Rightarrow C⩾2$)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение $z$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших $z$ ошибочно. Для оставшегося конечного количества $z$ справедливость гипотезы Била можно доказать численно.

Гипотезы Пиллаи и Каталана

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Доказательство Мотидзуки

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов.

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки.

Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется неустранимая ошибка. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения.

На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, «Публикации Научно-исследовательского института математических наук») Научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — это институт, в котором работает Мотидзуки.

В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS.

См. также

• Гипотеза Холла
• Теорема Мэйсона — Стотерса

Ссылки

• Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Лекции про ABC-гипотезу: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4 (by Keith Conrad).
• Р. Борчердс, Undergraduate math talk: The abc conjecture на YouTube

Литература

• Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.