6j-символ

6j-символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году.

Понятие 6j-символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента $j$ и его проекции $m$ :

\begin{matrix} 1) & j_{1} + j_{2} = j_{12}, j_{12} + j_{3} = j, \\ 2) & j_{2} + j_{3} = j_{23}, j_{1} + j_{23} = j, \\ 3) & j_{1} + j_{3} = j_{13}, j_{13} + j_{2} = j . \end{matrix}

Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента $j$ и его проекции $m$ . Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6j-символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6j-символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии.

6j-символы выражаются через W-коэффициенты Рака следующим образом:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{4} + j_{5}} W (j_{1} j_{2} j_{5} j_{4}; j_{3} j_{6})

и обладают большей симметрией, чем W-коэффициенты Рака.

Свойства симметрии[править]

6j-символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ j_{4} & j_{6} & j_{5} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ j_{6} & j_{5} & j_{4} \end{matrix}} .

6j-символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ j_{1} & j_{2} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ j_{4} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ j_{1} & j_{5} & j_{3} \end{matrix}} .

6j-символ

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}}

не равен нулю, только если $j_{1}$ , $j_{2}$ и $j_{3}$ удовлетворяют условию треугольника, то есть,

j_{1} = | j_{2} - j_{3} |, \dots, j_{2} + j_{3} .

Вместе со свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также $(j_{1}, j_{5}, j_{6})$ , $(j_{4}, j_{2}, j_{6})$ , и $(j_{4}, j_{5}, j_{3})$ .

Частные случаи[править]

Если $j_{6} = 0$ , то выражение для 6j-символа принимает вид

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{2}, j_{4}} δ_{j_{1}, j_{5}}}{\sqrt{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)}} (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3}),

где функция $Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3})$ равна 1, если $(j_{1}, j_{2}, j_{3})$ удовлетворяют условию треугольника, и равна нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда другой из $j$ равен нулю.

Соотношения ортогональности[править]

6j-символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:

\sum_{j_{3}} (2 j_{3} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{6}^{} {j_{6}}^{'}}}{2 j_{6} + 1} Δ (j_{1}, j_{5}, j_{6}) Δ (j_{4}, j_{2}, j_{6}) .

Явные выражения[править]

6j-символы могут быть выражены в явном виде различными способами:

в виде конечных сумм,
через R-символ (формула Баргмана),
через обобщённые гипергеометрические функции,
через 3j-символы,
в виде квазибиномов,
в виде интегралов от характеров представлений группы вращений.

В качестве примера приведём выражение для 6j-символов в виде конечных сумм:

{\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}} = (- 1)^{a + c + d + f} \frac{Δ (a b c) Δ (b d f)}{Δ (a e f) Δ (c d e)} \times

\times \sum_{n} (- 1)^{n} \frac{(a - b + d + e - n)! (- b + c + e + f - n)! (a + c + d + f + 1 - n)!}{n! (a - b + c - n)! (- b + d + f - n)! (a + e + f + 1 - n)! (c + d + e + 1 - n)!},

где суммирование ведётся по всем n, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения.

См. также[править]

Литература[править]

Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963.
Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.

Ссылки[править]

Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)