Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Определение

Пусть $\mathrm{\Phi }$ — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на $\mathrm{\Phi }$ задана функция $f(M)=f(x,y,z)$. Рассмотрим разбиение $T$ этой поверхности на части ${\mathrm{\Phi }}_i(i=1,\dots ,n)$ кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку $M_i(x_i,y_i,z_i)$. Вычислив значение функции в этой точке $f(M_i)=f(x_i,y_i,z_i)$ и, приняв за ${\sigma }_i$ площадь поверхности ${\mathrm{\Phi }}_i$, рассмотрим сумму

$I\{{\mathrm{\Phi }}_i,M_i\}=\sum _{i}f(M_i){\sigma }_i.$

Тогда число $I$ называется пределом сумм $I\{{\mathrm{\Phi }}_i,M_i\}$, если

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }T:d(T)<\delta \mathrm{\forall }\{M_i\}|I\{{\mathrm{\Phi }}_i,M_i\}-I|<\epsilon .$

Предел $I$ сумм $I\{{\mathrm{\Phi }}_i,M_i\}$ при $d(T)\to 0$ называется поверхностным интегралом первого рода от функции $f(M)$ по поверхности $\mathrm{\Phi }$ и обозначается следующим образом:

$I=\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(M)d\sigma .$

Параметрическая форма

Пусть на поверхности $\mathrm{\Phi }$ можно ввести единую параметризацию посредством функций

$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),$

заданных в ограниченной замкнутой области $\mathrm{\Omega }$ плоскости $(u,v)$ и принадлежащих классу $C^1$ в этой области. Если функция $f(M)=f(x,y,z)$ непрерывна на поверхности $\mathrm{\Phi }$, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности $\mathrm{\Phi }$ существует и может быть вычислен по формуле

$I=\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(M)d\sigma =\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv,$

где:

$E=({x_u}^{\prime }{)}^2+({y_u}^{\prime }{)}^2+({z_u}^{\prime }{)}^2,$

$F={x_u}^{\prime }{x_v}^{\prime }+{y_u}^{\prime }{y_v}^{\prime }+{z_u}^{\prime }{z_v}^{\prime },$

$G=({x_v}^{\prime }{)}^2+({y_v}^{\prime }{)}^2+({z_v}^{\prime }{)}^2.$

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы по областям $\mathrm{\Phi },{\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2$. Тогда:

1. Линейность: $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }(\alpha f+\beta g)d\sigma =\alpha \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fd\sigma +\beta \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }gd\sigma$ для любых вещественных чисел $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$.
2. Аддитивность: $\underset{{\mathrm{\Phi }}_1}{\iint }fd\sigma +\underset{{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fd\sigma =\underset{{\mathrm{\Phi }}_1\cup {\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fd\sigma$ при условии, что ${\mathrm{\Phi }}_1$ и ${\mathrm{\Phi }}_2$ не имеют общих внутренних точек.
3. Монотонность:
   • если $f⩾g$, то $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fd\sigma ⩾\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }gd\sigma$;
   • для $f⩾0$, если ${\mathrm{\Phi }}_1\subset {\mathrm{\Phi }}_2$, то $\underset{{\mathrm{\Phi }}_1}{\iint }fd\sigma <\underset{{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fd\sigma$.
4. Теорема о среднем для непрерывной функции $f$ и замкнутой ограниченной поверхности $\mathrm{\Phi }$:

   $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fd\sigma =f(\xi )\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }d\sigma =f(\xi )\mu (\mathrm{\Phi })$, где $\xi \in \mathrm{\Phi }$, а $\mu (\mathrm{\Phi })$ — площадь области $\mathrm{\Phi }$.

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность $\mathrm{\Phi }$, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением $z=z(x,y)$ причём точка $(x,y)$ изменяется в области $(D)$ на плоскости $xy$, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности $\mathrm{\Phi }$ определена некоторая функция $f(M)=f(x,y,z)$. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части ${\mathrm{\Phi }}_i(i=1,\dots ,n)$ и выбрав на каждой такой части точку $M_i(x_i,y_i,z_i)$, вычислим значение функции $f(M_i)=f(x_i,y_i,z_i)$ в данной точке и умножим его на площадь $D_i$ проекции на плоскость $xy$ элемента ${\mathrm{\Phi }}_i$, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

$\sum _{i=1}^{n}f(M_i)D_i=\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)D_i.$

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

$f(M)dxdy=f(x,y,z)dxdy,$

распространённым на выбранную сторону поверхности $\mathrm{\Phi }$, и обозначают символом

$I=\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(M)dxdy=\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(x,y,z)dxdy$

(здесь $dxdy$ напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость $xy$).

Если вместо плоскости $xy$ спроектировать элементы поверхности на плоскость $yz$ или $zx$, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

$\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(x,y,z)dydz$ или $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(x,y,z)dzdx.$

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

$\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,$

где $P,Q,R$ суть функции от $(x,y,z)$, определённые в точках поверхности $\mathrm{\Phi }$.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

$\underset{\mathrm{\Sigma }+}{\iint }f(x,y,z)dydz=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }f(x,y,z)\cos (\nu \wedge i)d\sigma ,$

где $\nu$ — единичный вектор нормали поверхности $\mathrm{\Sigma }$, $i$ — орт.

Свойства

1. Линейность: $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }(\alpha f+\beta g)dxdy=\alpha \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fdxdy+\beta \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }gdxdy$.
2. Аддитивность: $\underset{{\mathrm{\Phi }}_1}{\iint }fdxdy+\underset{{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fdxdy=\underset{{\mathrm{\Phi }}_1+{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fdxdy$.
3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

• Криволинейный интеграл
• Поток векторного поля
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Теорема Стокса

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Мир математических уравнений Архивная копия от 21 ноября 2019 на Wayback Machine.