Пересечение множеств

Пересечение $A$ и $B$

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств $A$ и $B$ обычно обозначается $A\cap B$, но в редких случаях может обозначаться $AB$.

Определение

Пересечение двух множеств

Пусть даны множества $A$ и $B$. Тогда их пересечением называется множество

$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.$

Пересечение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}.$ Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

$\bigcap _{\alpha \in A}{M}_{\alpha }=\{x\mid \mathrm{\forall }\alpha \in A,x\in M_{\alpha }\}.$

Свойства

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^X$;
• Операция пересечения множеств коммутативна

  $A\cap B=B\cap A;$

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

  $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);$

• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:

  $\left(\bigcup _k{A}_k\right)\cap B=\bigcup _k(A_k\cap B)$

• Универсальное множество $U$ является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

  $A\cap U=A;$

• Операция пересечения множеств идемпотентна:

  $A\cap A=A;$

• Если $\varnothing$ — пустое множество, то

  $A\cap \varnothing =\varnothing .$

Пример

Пусть $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5,6,7\}$. Тогда

$A\cap B=\{3,4\}.$

См. также

• Операции над множествами