Эпсилон-сеть

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества $M$ метрического пространства $X$ есть множество $Z$ из того же пространства $X$ такое, что для любой точки $x\in M$ найдётся точка $z\in Z$, удалённая от $x$ не более чем на ε.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором для каждого $\epsilon >0$ существует конечная $\epsilon$-сеть, называется вполне ограниченным.

• Метрика $\rho$ на множестве $X$ называется вполне ограниченной, если $(X,\rho )$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

• Семейство метрических пространств $(X_{\alpha },{\rho }_{\alpha })$ таких, что для любого $\epsilon >0$ есть натуральное число $N_{\epsilon }$ такое, что каждое пространство $(X_{\alpha },{\rho }_{\alpha })$ допускает $\epsilon >0$-сеть из не более чем $N_{\epsilon }$ точек называется универсально вполне ограниченной.
  • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

• Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
• Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для $\epsilon \ge 0,5$

Свойства

• Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества $M$ метрического пространства $X$ необходимо, а в случае полноты пространства $X$ и достаточно, чтобы при любом $\epsilon >0$ существовала конечная ε-сеть из элементов множества $M$.

Доказательство

Необходимость

Пусть множество $M$ (относительно) компактно. Зафиксируем $\epsilon >0$ и рассмотрим любой элемент $x_1\in M$. Если $\rho (x,x_1)<\epsilon$ для любого $x\in M$, то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент $x_2\in M$ такой, что $\rho (x_2,x_1)⩾\epsilon$. Имеются далее две возможности. Либо для любого $x\in M$ по крайней мере одно из чисел $\rho (x,x_1)$ или $\rho (x,x_2)$ меньше $\epsilon$, и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент $x_3\in M$ такой, что $\rho (x_3,x_1)⩾\epsilon$, $\rho (x_3,x_2)⩾\epsilon$, и так далее. Покажем, что процесс построения точек $x_1,x_2,\dots$ оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$, для которой $\rho (x_i,x_j)⩾\epsilon$ при $i\ne j$. Но тогда ни сама последовательность $\{x_n\},$ ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества $M$. Итак, для компактного множества $M$ мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Достаточность

Пусть при любом $\epsilon >0$ существует ε-сеть для множества $M$. Возьмем числовую последовательность ${𝒻}{\epsilon }_n{ℊ}$, где ${\epsilon }_n\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ и для каждого $n$ построим ${\epsilon }_n$-сеть $N_n=\{z_1^{(n)},z_2^{(n)},\dots ,z_{m_n}^{(n)}\}$. Рассмотрим произвольную последовательность $\{x_n\}\in M$. Так как $N_1$ есть ${\epsilon }_1$-сеть для $M$, то, каков бы ни был элемент $x\in M$, будем иметь, что $\rho (x,z_i^{(1)})<{\epsilon }_1$ для хотя бы одного элемента $z_i^{(1)}\in N_1$. Поэтому любой элемент $x\in M$ попадает хотя бы в один шар $S(z_i^{(1)},{\epsilon }_1),i=1,2,\dots ,m_1$, то есть все множество $M$, а тем более вся последовательность $\{x_n\}$ разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность $\{x_n\}$ бесконечна, то найдется хотя бы один шар $S(z_i^{(1)},{\epsilon }_1)$, который будет содержать бесконечную подпоследовательность $\{x_n^{(1)}\}$ нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для $N_m,m=2,3,\dots$. Составим диагональную подпоследовательность $x_1^{(1)},x_2^{(2)},\dots ,x_k^{(k)},\dots$. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как $x_k^{(k)}$ и $x_{k+p}^{(k+p)}$ при $p>0$ входят в $k$-ю подпоследовательность, а $k$-я подпоследовательность содержится в шаре $S(z_i^{(k)},{\epsilon }_k)$, то $\rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_k^{(k)})⩽{\epsilon }_k\to 0$ при $k\to \mathrm{\infty }$. По предположению, пространство $X$ полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности $\{x_k^{(k)}\}$ следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности $\{x_n\}$ сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества $M.$

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon >0$ в нём существует компактная ε-сеть.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.