Энстрофия

В гидродинамике энстрофия Шаблон:Mathcal может интерпретироваться как другой тип потенциальной плотности; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области $\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{ℝ}}^n$ и однократно слабо дифференцируемого векторного поля $u\in H^1({\mathbb{ℝ}}^n{)}^n$, которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:

${ℰ}(u):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }\mathbf{𝐮}{|}^{2}dx,$

где $|\mathrm{\nabla }\mathbf{𝐮}{|}^2=\sum _{i,j=1}^n{\left|{\partial }_i{u}^j\right|}^2$. Эта величина совпадает с квадратом полунормы $|\mathbf{𝐮}{|}_{H^1(\mathrm{\Omega }{)}^n}^2$решения в пространстве Соболева $H^1(\mathrm{\Omega }{)}^n$.

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐮}=0$, энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность $\mathit{\omega }$,

${ℰ}(\mathit{\omega })\equiv \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathit{\omega }{|}^{2}dx$

или, с точки зрения скорости потока,

${ℰ}(\mathbf{𝐮})\equiv \underset{S}{\int }|\mathrm{\nabla }\times \mathbf{𝐮}{|}^{2}dS.$

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathbf{𝐮}{|}^2)=-\nu {ℰ}(\mathbf{𝐮}).$

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости $\nu$, умноженной на энтрофию.

Источники

• (December 2004) «Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results». Astronomy and Astrophysics 427 (3): 855–872. arXiv:astro-ph/0404020. doi:10.1051/0004-6361:20040573. .
• (March 1991) «The dynamics of enstrophy transfer in two-dimensional hydrodynamics». Physica D: Nonlinear Phenomena 48 (2–3): 273–294. doi:10.1016/0167-2789(91)90088-Q. .