Числа Сабита

Числа Сабита — натуральные числа, задающиеся формулой $3\cdot 2^n-1$ для целых неотрицательных $n.$

Первые числа Сабита — это

$2,5,11,23,47,95,191,383,767,1535,3071,6143,12287,24575,49151,98303,196607,393215,786431,1572863,\dots$

(последовательность A055010 в OEIS.)

Последовательность названа в честь иракского математика девятого века Сабит Ибн Курра, исследовавшим такие числа.

Свойства

• Двоичное представление числа Сабита $3\cdot 2^n-1$ имеет длину $n+2.$
• Некоторые числа Сабита являются простыми:

$2,5,11,23,47,191,383,6143,786431,51539607551,824633720831,\dots$

(последовательность A007505 в OEIS.)

• По состоянию на апрель 2008 года известны следующие значения $n,$ дающие простые числа:

$0,1,2,3,4,6,7,11,18,34,38,43,47,55,64,76,$

$94,103,143,206,216,306,324,391,458,470,827,1274,3276,4204,5134,$

$7559,12676,14898,18123,18819,25690,26459,41628,51387,71783,80330,85687,88171,97063,$

$123630,155930,164987,234760,414840,584995,702038,727699,992700,1201046,1232255,2312734,3136255,\dots$

(последовательность A002235 в OEIS.)

• Простые числа Сабита для $n>164987$ были найдены в ходе распределённых вычислений «321 search». Наибольшее из известных простых чисел Сабита ($3\cdot 2^{4235414}-1$) длиной в 1274988 знаков и было найдено Dylan Bennett в апреле 2008 года. Прошлым рекордом было число $3\cdot 2^{3136255}-1$ найденное Paul Underwood в марте 2007 года.

Связь с дружественными числами

Если и $n,$ и $n-1$ являются числами Сабита, и если $9\cdot 2^{2n-1}-1$ — простое, то пара дружественных чисел может быть найдена как

$2^n(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^n-1)$ и $2^n(9\cdot 2^{2n-1}-1).$

Числа Сабита второго рода

• Числа, записываемые формулой $3\cdot 2^n+1$ называются числами Сабита второго рода.

• Первые числа Сабита второго рода:

  $4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...$

• Первые простые числа Сабита второго рода (последовательность A039687 в OEIS):

  $7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...$

• Первые значения $n$, при которых $3\cdot 2^n+1$ простые:

  $1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...$ (последовательность A2253 в OEIS).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.