Функция Струве

Графики функции Струве для $\nu =0,1,2,3,4,5$

Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-{\nu }^2)f=\frac{4{(z/2)}^{\nu +1}}{\sqrt{\pi }\cdot \mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}$

Интегральное выражение функции Струве:

${\mathsf{H}}_{\nu }(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{(z/2{)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin (z\cdot \cos t)\cdot {\sin }^{}tdt$

Разложение в ряд:

${\mathsf{H}}_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(z/2{)}^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{3}{2})\cdot \mathrm{\Gamma }(k+\nu +\frac{3}{2})}$

Модифицированная функция Струве:

${\mathsf{L}}_{\nu }(z)=-i\cdot e^{-\frac{i\nu \pi }{2}}\cdot {\mathsf{H}}_{\nu }(iz)$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Struve Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.