Формула Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.

Формулировка

Пусть $X(t)$ — решение уравнения $\dot{X}=A(t)X$, где $X,A$ — матрицы. Тогда:

$\det X=\exp (\underset{0}{\overset{t}{\int }}trA(s)ds)\det X(0)$

Доказательство

Можно доказать, что $\dot{(\det X)}=(\det X)(tr\dot{X}{X}^{-1})$ . В доказуемой формуле $\dot{X}{X}^{-1}=A(t)$. Таким образом, функция $y(t)=\det X(t)$ удовлетворяет условию $\dot{(\ln y)}=\frac{\dot{y}}{y}=trA(t)$. Поэтому $y(t)=c\exp (\underset{0}{\overset{t}{\int }}trA(s)ds)$, где $c=y(0)=\det X(0)$.

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.