Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел в геометрическом представлении $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ утверждает, что

$z^n=r^n(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$

для любого $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

То есть, умножение комплексных чисел, выраженных в полярных координатах на комплексной плоскости, осуществляется посредством умножения их модулей и сложения аргументов.

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

однако немедленно следует из неё.

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=\left[r\right(\cos (\phi +2\pi k)+i\sin (\phi +2\pi k)){]}^{1/n}=r^{1/n}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n}),$

где $k=0,1,\dots ,n-1$.

Из этой формулы следует, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в нуле.

При $r=1$ из формулы Муавра можно вывести значения тригонометрических функций для кратных аргументов (например, синус и косинус двойного, тройного и т. д. углов).

Формула Муавра позволяет найти комплексные корни из единицы, то есть решить уравнения $x^n=1$

История

Открыта английским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

• Корни из единицы — приложение формулы Муавра
• Формула Муавра в статье «Комплексное число»
• Формула Эйлера