Формула Ито

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс $X=(X_t{)}_{t⩾0}$, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔉},({\mathfrak{𝔉}}_t{)}_{t⩾0},P)$ с потоком $({\mathfrak{𝔉}}_t{)}_{t⩾0}$.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение $d{X}_t=a(t,\omega )dt+b(t,\omega )d{B}_t$, или, в интегральной форме,

$X_t=X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}a(s,\omega )ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}b(s,\omega )d{B}_s,$

где $B=(B_t,{\mathfrak{𝔉}}_t{)}_{t⩾0}$ — броуновское движение.

Пусть теперь $F(t,x)$ — заданная на ${\mathbb{ℝ}}_{+}\times \mathbb{ℝ}$ непрерывная функция из класса $C^{1,2}$, то есть имеющая производные $\frac{\partial F}{\partial t},\frac{\partial F}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}.$

При этих предположениях выполняется

$dF(t,X_t)=[\frac{\partial F}{\partial t}+a(t,\omega )\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2}{b}^2(t,\omega )\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}]dt+\frac{\partial F}{\partial x}b(t,\omega )d{B}_t.$

Говоря более строго, при каждом $t>0$ для $F(t,X_t)$ справедлива следующая формула Ито:

$F(t,X_t)=F(0,X_0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}[\frac{\partial F}{\partial t}+a(s,\omega )\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2}{b}^2(s,\omega )\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}]ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial F}{\partial x}b(s,\omega )d{B}_s.$

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Фейнмана — Каца
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения