Точка Штейнера

Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

История

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году.

Определение

Прямая, проходящая через $A$, параллельна $B^{\prime }{C}^{\prime }$, прямая, проходящая через $B$, параллельна $C^{\prime }{A}^{\prime }$, и прямая, проходящая через $C$, параллельна $A^{\prime }{B}^{\prime }$ пересекаются в точке Штейнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.)

Пусть дан любой треугольник $ABC$. Пусть $O$ — его центр описанной окружности и $K$ — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на $OK$ как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через $O$ перпендикулярно к прямой $BC$, пересекает окружность Брокара в другой точке $A^{\prime }$. Прямая, проходящая через $O$ перпендикулярно к прямой $CA$, пересекает окружность Брокара в другой точке $B^{\prime }$. Прямая, проходящая через $O$ перпендикулярно к прямой $AB$, пересекает окружность Брокара в другой точке $C^{\prime }$ (треугольник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ есть треугольник Брокара для треугольника $ABC$). Пусть $L_A$ есть прямая, проходящая через $A$ параллельно прямой $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $L_B$ есть прямая, проходящая через $B$ параллельно прямой $C^{\prime }{A}^{\prime }$, и $L_C$ есть прямая, проходящая через $C$ параллельно прямой $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Тогда все три прямых $L_A$, $L_B$ и $L_C$ пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника $ABC$.

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

$(\frac{bc}{b^2-c^2}:\frac{ca}{c^2-a^2}:\frac{ab}{a^2-b^2})=(b^2{c}^2\mathrm{cosec}(B-C):c^2{a}^2\mathrm{cosec}(C-A):a^2{b}^2\mathrm{cosec}(A-B))$.

Свойства

• Описанный вокруг треугольника $ABC$ эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины $A$, $B$ и $C$. Точка Штейнера треугольника $ABC$ лежит на описанном вокруг треугольника $ABC$ эллипсе Штейнера.
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника $ABC$ массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника $ABC$ и имеет трилинейные координаты:

$(\frac{\pi -A}{a}:\frac{\pi -B}{b}:\frac{\pi -C}{c})$.

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника $ABC$ параллельна прямой $OK$, где $O$ — центр описанной окружности и $K$ — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника $ABC$.

Точка Тарри

Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно к $B^{\prime }{C}^{\prime }$, прямая, проходящая через $B$ перпендикулярно к $C^{\prime }{A}^{\prime }$, и прямая, проходящая через $C$ перпендикулярно к $A^{\prime }{B}^{\prime }$, пересекаются в точке Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть $ABC$ — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника $ABC$, диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника $ABC$. Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

$(\sec (A+\omega ):\sec (B+\omega ):\sec (C+\omega ))$,

где $\omega$ является углом Брокара треугольника $ABC$.

См. также

• Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.