Точечная оценка

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть $X_1,\dots ,X_n,\dots$ — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }$. Тогда статистику $\hat{\theta }(X_1,\dots ,X_n)$, принимающую значения в $\mathrm{\Theta }$, называют точечной оценкой параметра $\theta$.

Замечание

Формально статистика $\hat{\theta }$ может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра $\theta$. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

• Оценка $\hat{\theta }=\hat{\theta }(X)$ называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

${\mathbb{𝔼}}_{\theta }\left[\hat{\theta }\right]=\theta ,\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$,

где ${\mathbb{𝔼}}_{\theta }$ обозначает математическое ожидание в предположении, что $\theta$ — истинное значение параметра (распределения выборки $X$).

• Оценка $\hat{\theta }$ называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка ${\hat{\theta }}_n={\hat{\theta }}_n(X_1,\dots ,X_n)$ называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: $\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$,

${\hat{\theta }}_n\to \theta$ по вероятности при $n\to \mathrm{\infty }$.

• Оценка ${\hat{\theta }}_n$ называется сильно состоятельной, если $\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$,

${\hat{\theta }}_n\to \theta$ почти наверное при $n\to \mathrm{\infty }$.

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также

• Интервальная оценка

Литература

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.