Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение

Ток вероятности $\overrightarrow{j}$ определяется как

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})=\frac{\hslash }{m}\text{Im}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi })$

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j}=0$

с плотностью вероятности $\rho$, заданной

$\rho =|\mathrm{\Psi }{|}^2$.

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV+\underset{S}{\int }\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS}=0$

где $V$ — объём и $S$ — граница объёма $V$. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если $\mathrm{\Psi }$ — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах $V$, когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема $V$.

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в $V$ равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из $V$.

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

$\mathrm{\Psi }=A{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}{e}^{-i\omega t}$

запишется в виде

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}|A{|}^2(e^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}-e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{e}^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}})=|A{|}^2\frac{\hslash \overrightarrow{k}}{m}.$

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{p}}{m}=\frac{\hslash \overrightarrow{k}}{m}$.

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

$\frac{d|\mathrm{\Psi }{|}^2}{dt}=0$

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной $L$ ($0<x<L$), волновые функции запишутся в виде

${\mathrm{\Psi }}_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

$j_n=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}_n^{*}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n}{\partial x}-{\mathrm{\Psi }}_n\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n^{*}}{\partial x})=0$

поскольку ${\mathrm{\Psi }}_n={\mathrm{\Psi }}_n^{*}.$

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что $\mathrm{\Psi }$ - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных $x$, $y$, и $z$). Тогда

$P=\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

$\frac{dP}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV=\underset{V}{\int }(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}{\mathrm{\Psi }}^{*}+\mathrm{\Psi }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t})dV$

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма $V$ не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+V\mathrm{\Psi }$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от $\mathrm{\Psi }$:

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{i\hslash }{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\frac{i}{\hslash }V\mathrm{\Psi }$

Результат подстановки в предыдущее уравнение для $\frac{dP}{dt}$ даёт

$\frac{dP}{dt}=-\underset{V}{\int }\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*})dV$.

Теперь после перехода к дивергенции

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*}-\mathrm{\Psi }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}$

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

$\frac{dP}{dt}=-\underset{V}{\int }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})dV$

Если теперь вспомним выражение для $P$ и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть $\overrightarrow{j}$ тогда запишем выражение

$\underset{V}{\int }(\frac{\partial |\mathrm{\Psi }{|}^2}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j})dV=0$

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов $V$, и интеграл можно опустить:

$\frac{\partial |\mathrm{\Psi }{|}^2}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j}=0.$