Теория БКШ

Теория Бардина — Купера — Шриффера (теория БКШ) — микроскопическая теория сверхпроводников, являющаяся на сегодняшний день доминирующей. В её основе лежит концепция куперовской пары: коррелированного состояния электронов с противоположными спинами и импульсами. В 1972 году создатели теории были удостоены Нобелевской премии по физике. Одновременно микроскопическая теория сверхпроводимости была построена с использованием так называемых преобразований Боголюбова Н. Н. Боголюбовым, показавшим, что сверхпроводимость можно рассматривать как сверхтекучесть электронного газа.

Электроны вблизи поверхности Ферми могут испытывать эффективное притяжение, взаимодействуя друг с другом посредством фононов. Надо ввести уточнение, притягиваются только те электроны, энергия которых отличается от энергии электронов на поверхности Ферми не более чем на величину $h{\nu }_D$, где ${\nu }_D$ — дебаевская частота, остальные электроны не взаимодействуют. Эти электроны объединяются в пары, называемые часто куперовскими. Куперовские пары, в отличие от отдельных электронов, обладают рядом свойств, характерных для бозонов, которые при охлаждении могут переходить в одно квантовое состояние. Можно сказать, что эта особенность позволяет парам двигаться без столкновения с решёткой и оставшимися электронами, то есть без потерь энергии.

Куперовские пары

Основная статья: Куперовская пара

Леон Купер рассмотрел образование связного состояния двух электронов имеющих противоположные спины и скорости и предположил, что эти пары могут быть ответственны за сверхпроводящее состояние. Он указал на возможность образования связного состояния двух электронов на уровне Ферми при обмене фононами, которое качественно можно рассмотреть в виде динамического взаимодействия электронов проводимости с колебаниями ионной кристаллической решёткой. Когда электрон пролетает с\рядом с ионами он притягивает ионы и создаёт за собой положительную плотность заряда которая притягивает другой электрон противоположный по спину и скорости (в этом случае взаимодействие максимально).

Купер рассмотрел двухчастичную задачу в системе центра масс сводя её к одночастичной задаче в периодическом поле кристалла с уравнением и переходя от переменных для координат электронов ${\mathbf{𝐫}}_1$ и ${\mathbf{𝐫}}_2$ к координатам для центра масс и расстояния между частицами $\mathbf{𝐑}=({\mathbf{𝐫}}_1+{\mathbf{𝐫}}_2)/2$ и $\mathbf{𝐫}={\mathbf{𝐫}}_2-{\mathbf{𝐫}}_1$ (для волновых векторов от ${\mathbf{𝐤}}_1$ и ${\mathbf{𝐤}}_2$ к $\mathbf{𝐊}={\mathbf{𝐤}}_1+{\mathbf{𝐤}}_2$ и $\mathbf{𝐤}=({\mathbf{𝐤}}_2-{\mathbf{𝐤}}_1)/2$), а также энергии ${{ℰ}}_K+{\epsilon }_k=({\hslash }^2/m^2)(K^2+k^2)$

$({{ℰ}}_K+{\epsilon }_k-E)a_k+\sum _{k^{\prime }}{a}_{k^{\prime }}⟨k|H_1|k^{\prime }⟩\delta (K-K^{\prime })/\delta (0)=0$

для волновой функции

$\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐑},\mathbf{𝐫})=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i\mathbf{𝐊}\cdot \mathbf{𝐑}}\chi (\mathbf{𝐫},\mathbf{𝐊})=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i\mathbf{𝐊}\cdot \mathbf{𝐑}}\sum _{\mathbf{𝐤}}\frac{a_{\mathbf{𝐤}}}{\sqrt{V}}{e}^{i\mathbf{𝐤}\cdot \mathbf{𝐫}}.$

Предполагая матричные элементы постоянными для волновых векторов вблизи уровня Ферми и нулевыми в области отличной от уровня Ферми более чем на Дебаевскую энергию можно получить уравнение для собственных значений

$1=-|F|\underset{{ϵ}_0}{\overset{{ϵ}_m}{\int }}\frac{N(K,ϵ)dϵ}{E-ϵ-{{ℰ}}_K},$

где $N(K,ϵ)$ — плотность состояний куперовских пар с моментом K, которая предполагается постоянной. Выражение для энергии связи куперовской пары выражается через энергию Дебая

$\mathrm{\Delta }=2\hslash {\mathrm{\Omega }}_D(e^{1/(N(K,{ϵ}_0)|F|)}-1).$

Важные уточнения

• Отметим, что в теории БКШ понятие куперовской пары четко не определено и в явном виде не вводится. Куперовская пара хорошо определена лишь в двухчастичной задаче Купера, которая считается вспомогательной для построения многочастичной теории БКШ.