Теорема Шаля о классификации движений

Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования (движения) плоскости.

Названа в честь Мишеля Шаля. Также теоремой Шаля называют некоторые другие утверждения в физике.

Формулировки[править]

Плоскость[править]

Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию, а также тождественное отображение), либо параллельный перенос.

Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.

Пространство[править]

Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является скользящим поворотом.

Всякое меняющее ориентацию движение пространства является композицией зеркальной симметрии и скользящего поворота.

Доказательство[править]

Основные идеи доказательства:

Любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами.
Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий.
Перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трёх осевых симметрий.

Лемма о трёх гвоздях[править]

Любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. Другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек $A, B, C$ и их образов $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ существует единственное движение $f : A \mapsto A^{'}, B \mapsto B^{'}, C \mapsto C^{'}$

Доказательство[править]

Возьмем любую точку $D \neq A, B, C$ и ее образ $D^{'}$ . $f$ — движение, а значит $A D = A^{'} D^{'}$ ; из чего следует, что $D^{'}$ лежит на окружности с центром в $A^{'}$ и радиусом $A D$ .

Аналогичное рассуждение для точек $B$ и $C$ показывает, что $D^{'}$ также лежит на окружности с центром в $B^{'}$ и радиусом $B D$ и на окружности с центром в $C^{'}$ и радиусом $C D$ .

Так как три окружности,центры которых не лежат на одной прямой, могут пересекаться только в одной точке, то существует единственный образ $D^{'}$ для любой точки $D$ . Это утверждение равносильно единственности движения.

Лемма о трёх симметриях[править]

Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий. Другими словами, любое движение $f$ представимо или как $S_{l}$ или как $S_{l_{1}} \circ S_{l_{2}}$ или как $S_{l_{1}} \circ S_{l_{2}} \circ S_{l_{3}}$ .

Доказательство[править]

Возьмем произвольное движение $f$ и точки $A, B, C$ с их образами $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Если мы докажем, что для $A, B, C$ существует композиция симметрий $g$ эквивалентная $f$ , то по лемме о трёх гвоздях $f = g$ в общем случае.

Заметим что $S_{l_{i}} \circ \dots \circ S_{l_{1}} \circ f = I d \Leftrightarrow f = S_{l_{1}} \circ \dots \circ S_{l_{i}}$ , так как $S_{l}^{- 1} \overset{d e f}{=} S_{l}$ и $(f \circ g)^{- 1} \overset{d e f}{=} g^{- 1} \circ f^{- 1}$

Найдем представление $f$ в виде композиции осевых симметрий:

Рассмотрим симметрию $S_{l_{1}}$ , такую что $A \mapsto A^{'}$ . Точка $B$ при такой симметрии перейдет или в некоторую новую точку $B'_{1}$ или обратно в $B^{'}$ . Точка $C$ аналогично перейдет или в некоторую $C'_{1}$ или обратно в $C^{'}$ . Если $B$ и $C$ вернулись в $B^{'}$ и $C^{'}$ , то $S_{l_{1}} \circ f = I d$ , где $I d$ — тождественное преобразование. В таком случае $f = S_{l_{1}}$ .
Теперь, если точка $B \mapsto B'_{1}$ , то рассмотрим симметрию $S_{l_{2}}$ , такую что $B'_{1} \mapsto B^{'}$ . Заметим, что $l_{2}$ — серединный перпендикуляр к отрезку $B^{'} B'_{1}$ , по определению осевой симметрии.

$f$ , $S_{l_{1}}$ — движения, а значит $A B \overset{f}{=} A^{'} B^{'} и A B \overset{S_{l_{1}}}{=} A^{'} B'_{1}$ . Следовательно, $A^{'}$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $B^{'} B'_{1}$ (по свойству серединного перпендикуляра), то есть на прямой $l_{2}$ . Отсюда следует, что при преобразовании $S_{l_{2}}$ — $A^{'} \mapsto A^{'}$ . Если $C^{'} \mapsto C$ , то аналогично $C B =^{f} C^{'} B^{'} =^{S_{l_{1}}} C B'_{1}$ , то есть при $S_{l_{2}}$ $C$ перейдет в $C^{'}$ . Иначе $C \mapsto C'_{1}$ , значит $C'_{1}$ снова перейдет или в некоторую $C'_{2}$ или в $C^{'}$ . Итого, если или $C'_{1} \mapsto C^{'}$ при $S_{l_{2}}$ ; или $C \mapsto C^{'}$ при $S_{l_{1}}$ , то $S_{l_{2}} \circ S_{l_{1}} \circ f = I d$ . Это значит, что $f = S_{l_{1}} \circ S_{l_{2}}$ .

Если $C \mapsto C'_{1} \mapsto C'_{2}$ , рассмотрим симметрию $S_{l_{3}}$ , такую что $C'_{2} \mapsto C^{'}$ .

Очевидно, что $l_{3}$ — серединный перпендикуляр к отрезку $C^{'} C'_{2}$ . $f$ , $S_{l_{1}}$ , $S_{l_{2}}$ — движения, а значит $A C \overset{f}{=} A^{'} C^{'} \overset{S_{l_{1}}}{=} A^{'} C'_{1} \overset{S_{l_{2}}}{=} A^{'} C'_{2}$ . Следовательно, $A^{'}$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $C^{'} C'_{2}$ , то есть $l_{3}$ . Это значит, что $S_{l_{3}}$ переводит $A^{'}$ в $A^{'}$ . Если $B \mapsto B^{'}$ , то аналогично $B^{'} \in l_{3}$ . Иначе, $B \mapsto B'_{1} \mapsto B^{'}$ , следовательно $B C \overset{f}{=} B^{'} C^{'} \overset{S_{l_{1}}}{=} B'_{1} C'_{1} \overset{S_{l_{2}}}{=} B^{'} C'_{2}$ и $B^{'}$ тоже лежит на $l_{3}$ .Это значит, что $S_{l_{3}}$ переводит $B^{'}$ в $B^{'}$ . Следовательно, $S_{l_{3}} \circ S_{l_{2}} \circ S_{l_{1}} \circ f = I d$ , а значит, $f = S_{l_{1}} \circ S_{l_{2}} \circ S_{l_{3}}$ .

Перебор вариантов[править]

Теперь каждое данное движение $f$ представим в виде композиции не более трёх симметрий по лемме о трёх симметриях.

Классифицируем получившееся равенство, тем самым классифицировав любое данное движение:

Если $f = S_{l}$ , то $f$ — осевая симметрия.
Если $f = S_{l_{1}} \circ S_{l_{2}}$ , то либо $l_{1} ∥ l_{2}$ и тогда $f$ — параллельный перенос, либо $l_{1} ∦ l_{2}$ и тогда $f$ — поворот.
Иначе, $f = S_{l_{1}} \circ S_{l_{2}} \circ S_{l_{3}}$ и тогда $f$ — скользящая симметрия (по свойству скользящей симметрии).

Приложения[править]

Теорема Ельмслева о серединах

Источники[править]

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 228-229. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
Теорема Шаля в задачах
Теоремы о композиции движений