Теорема Холево

Теорема Холево — важная ограничивающая теорема в области квантовых вычислений, междисциплинарной области физики и информатики. Её иногда называют границей Холево, поскольку теорема устанавливает верхнюю границу на количество информации, которую можно узнать о квантовом состоянии (доступная информация). Теорему опубликовал Александр Семёнович Холево в 1973 году.

Вводная информация

Как и для других концепций квантовой теории информации, понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб. У Алисы есть классическая случайная величина X, которая может принимать значения {1, 2, …, n} с соответствующими вероятностями $\{p_1,p_2,\dots ,p_n\}$. Алиса подготавливает квантовое состояние, представленное матрицей плотности ${\rho }_X$, выбранной из множества $\{{\rho }_1,{\rho }_2,\dots {\rho }_n\}$, и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X, которое осуществляется через измерение состояния ${\rho }_X$, что даёт классический результат, обозначаемый через Y. В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X, является максимальным значением взаимной информации I(X:Y) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать.

В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой.

Утверждение теоремы

Пусть $\{{\rho }_1,{\rho }_2,\dots ,{\rho }_n\}$ будет множеством смешанных состояний и пусть ${\rho }_X$ будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности $P=\{p_1,p_2,\dots ,p_n\}$.

Теперь для любого измерения, описываемого элементами POVM (англ. positive operator-valued measure, положительная операторная мера) $\{E_Y\}$ и осуществлённого на $\rho =\sum _X{p}_X{\rho }_X$, количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:

$I(X:Y)⩽S(\rho )-\sum _i{p}_{i}S({\rho }_i)$

где $\rho =\sum _i{p}_i{\rho }_i$ ; $S(\cdot )$ является энтропией фон Неймана.

Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево:

$\chi :=S(\rho )-\sum _i{p}_{i}S({\rho }_i)$.

Доказательство

Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами $P,Q,M$. При этом $P$ рассматривается как подготовка, $Q$ — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а $M$ — как средства измерения полученной информации Боба.

Сложная система $P\otimes Q\otimes M$ в начале находится в состоянии

${\rho }^{PQM}:=\sum _x{p}_x|x⟩⟨x|\otimes {\rho }_x\otimes |0⟩⟨0|$

Состояние Алисы $P$ можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение $x$ для случайной переменной $X$. Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием, описываемым матрицей плотности $\sum _x{p}_x|x⟩⟨x|$, квантовое состояние, переданное Бобу, равно $\sum _x{p}_x{\rho }_x$, а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии $|0⟩$.

Используя известные результаты квантовой теории информации^{[какие?]} можно показать^[как?], что

$S(P^{\prime };M^{\prime })⩽S(P;Q)$

Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать^[как?], что это эквивалентно утверждению теоремы.

Замечания

По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит, хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь, то есть получить на практике, не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит. Это удивительно по двум причинам:

1. квантовые вычисления часто настолько более мощные по сравнению с обычными вычислениями, что результаты, показывающие, что они лишь незначительно лучше, или даже хуже обычных техник, выглядят странно;
2. требуется $2^n$ комплексных чисел для кодирования кубита, который представляет лишь n бит.

См. также

• Квантовое сверхплотное кодирование